클리크 행렬을 통한 그래프 분해와 양정정 행렬 파라미터화

초록

본 논문은 무방향 그래프를 표현하는 새로운 방식인 클리크 행렬을 제안한다. 클리크 행렬은 기존의 인시던스 행렬을 일반화한 형태로, 그래프를 중첩 가능한 잘 연결된 정점 집합(클러스터)들의 집합으로 분해한다. 통계적 모델링과 변분 근사를 이용해 클러스터 수를 최소화하면서 내부 연결성을 최대화하도록 설계했으며, 이러한 행렬은 분해 가능한 그래프에 대한 양정정 행렬의 제약을 완전하게 파라미터화한다. 비분해 가능한 경우에는 구조화된 요인 분석 근사로 해석된다.

상세 분석

클리크 행렬은 그래프 G=(V,E)의 정점 집합 V와 모든 완전 부분그래프(클리크)를 행으로 갖는 0‑1 행렬 C 로 정의된다. 기존 인시던스 행렬이 각 변을 하나의 행으로 두어 정점-변 관계만을 나타내는 반면, 클리크 행렬은 각 행이 하나의 클리크를 나타내어 정점 간의 고차 연결 정보를 직접 포함한다. 이 구조는 그래프를 ‘잘 연결된’ 정점 집합들의 중첩된 모음으로 해석하게 하며, 클러스터링 문제를 행렬 분해 형태로 전환한다.

논문은 클리크 행렬을 확률 모델에 삽입하여, 각 행(클리크)의 존재 여부를 이진 잠재 변수 z_k 로 두고, z_k=1 일 때 해당 클리크가 그래프에 기여한다고 가정한다. 그래프의 인접 행렬 A 를 Bernoulli 분포로 모델링하고, 클리크 행렬 C 와 z 로부터 기대 연결 확률을 계산한다. 이때 목표는 클러스터 수 K 를 작게 유지하면서 A 와 재구성된 연결 확률 사이의 KL 발산을 최소화하는 것이다.

변분 추론에서는 q(z)=∏_k Bernoulli(π_k) 형태의 평균장 근사를 사용한다. 기대값 E_q