곡선 DG 범주의 두 번째 종류 Hochschild 동동조와 코동조

초록

본 논문은 곡선 DG(또는 CDG) 범주에 대해 두 번째 종류의 Hochschild 동·코동조류를 정의하고, 이를 오른쪽 CDG-모듈 범주 C와 연결시켜 동형성을 구축한다. 두 종류의 Hochschild (co)homology가 일치하기 위한 충분조건을 파생된 범주의 관점에서 제시하고, 대각 CDG-바이모듈에 대한 “대각 해상” 조건이 이러한 동형성을 보장함을 증명한다. 여러 전형적인 예시를 통해 이론의 적용 가능성을 보여준다.

상세 분석

논문은 먼저 곡선 DG‑범주(이하 CDG‑범주) B에 대해 전통적인 Hochschild 동·코동조류와는 구별되는 “두 번째 종류”를 도입한다. 이는 B가 곡선 구조(즉, 차수 + 1인 중앙 원소 w를 갖는) 때문에 일반적인 체인 복합체가 수렴하지 않을 경우에도 의미 있는 호몰로지를 제공하도록 설계되었다. 저자들은 B‑모듈의 완전한 이중 복합체를 이용해 B‑바이모듈 B 자체에 대한 Borel‑Moore 형태의 Hochschild 복합체를 구성하고, 그 호몰로지를 두 번째 종류의 Hochschild 동조라 명명한다. 코동조는 이 복합체의 대수적 듀얼을 취함으로써 정의된다.

다음으로, B‑우측 CDG‑모듈을 객체로 하는 DG‑범주 C를 고려한다. 여기서 모듈은 차등이 있는 그레이드 B‑모듈이며, 유한 생성·프로젝트베이스를 가정한다. 저자들은 C가 B‑모듈의 완전한 사상 공간을 제공하므로, C의 전통적인 Hochschild (co)homology와 B의 두 번째 종류 Hochschild (co)homology 사이에 자연스러운 비교 사상이 존재함을 보인다. 핵심 정리는 “대각 CDG‑바이모듈 B가 C‑모듈 범주 내에서 완전한 해상(Resolution of the diagonal)을 갖는다”는 가정 하에, 두 동조류가 동형임을 증명한다. 이때 사용되는 기술은 B‑모듈의 바이어스드 복합체와 C‑모듈의 표준 바코드 복합체 사이의 텐서‑적대적 관계, 그리고 차등이 보존되는 사상들의 완전성이다.

또한, 두 종류의 Hochschild (co)homology가 일치하기 위한 충분조건을 파생된 범주의 언어로 재구성한다. 구체적으로, B‑모듈의 코히어런트 파생 범주 D^co(B)와 완전 파생 범주 D^abs(B) 사이에 완전한 사상(fully faithful) 및 생성(essentially surjective) 조건을 제시한다. 이러한 조건은 B가 “정규화된” 곡선 구조를 가질 때 자동으로 만족되며, 특히 B가 유한 차원 평면 곡면이나 국소 완전 교환 대수인 경우에 적용 가능하다.

마지막으로, 저자들은 몇 가지 전형적인 예시—예를 들어, 곡선 DG‑알제브라 k