정규 이분 그래프에서 하드코어 모델의 Glauber 동역학이 느리게 섞이는 현상

초록

본 논문은 $d$-정규 이분 그래프 $\Sigma$와 활동도 $\lambda$에 대해, 독립 집합을 $\lambda^{|I|}$ 비례로 선택하는 하드코어 측정 $\pi_\lambda$의 고정점인 Glauber 동역학이 $\lambda$가 충분히 클 때(또는 하이퍼큐브에서는 $\lambda$가 $d$에 따라 0에 수렴) 상태공간을 탐색하는 데 지수적으로 오래 걸린다는 것을 증명한다. 핵심은 작은 확장 상수 $\delta(\Sigma)$를 갖는 그래프에서 “병목” 집합의 측정이 매우 작아져 전이 확률이 낮아지는 전도도(conductance) 하한을 이용한 것이다.

상세 분석

논문은 먼저 하드코어 모델을 정의하고, 이를 표본화하는 단일 사이트 업데이트 마코프 체인인 Glauber dynamics $M_\lambda$를 소개한다. $M_\lambda$는 각 단계에서 무작위 정점을 선택하고, 그 정점이 현재 독립 집합에 포함되지 않으면 확률 $\lambda/(1+\lambda)$ 로 포함시키고, 포함돼 있으면 $1/(1+\lambda)$ 로 제외한다. 이 체인은 가역이며 $\pi_\lambda$를 고정점으로 가진다.

저자는 혼합 시간 $\tau_{M_\lambda}$를 분석하기 위해 전도도 $\Phi(M_\lambda)$를 사용한다. 전도도는 $\Phi(M)=\min_{S:\pi(S)\le 1/2} Q(S,\bar S)/\pi(S)$ 로 정의되며, $\tau\ge (1/2\Phi) \log(1/2\epsilon)$ 와 같은 하한을 제공한다. 따라서 $\Phi$가 지수적으로 작으면 $\tau$는 지수적으로 커진다.

핵심 아이디어는 그래프 $\Sigma$의 두 파티션 $E,O$ 중 하나에 더 많이 차지하는 독립 집합들의 집합 $I_E$ (또는 $I_O$)을 선택하고, 이 집합에서 다른 집합으로 한 번에 이동하려면 “균형” 독립 집합 $I_b$를 거쳐야 함을 보이는 것이다. $I_b$는 $|I\cap E|$와 $|I\cap O|$가 모두 $\alpha(\lambda)M$ 이하인 경우와, 둘 다 $\alpha(\lambda)M$ 이상인 경우를 포함한다. 여기서 $\alpha(\lambda)=\frac{\log(1+\lambda)}{44(1+\log(1+\lambda))\log(2+1/\log(1+\lambda))}$ 로 정의된다.

다음 단계는 $w_\lambda(I_b)=\sum_{I\in I_b}\lambda^{|I|}$ 를 상한하는 것이다. 저자는 이 값을 두 부분으로 나누어 각각 Chernoff 경계와 이항 계수 합에 대한 부등식, 그리고 그래프의 확장 상수 $\delta(\Sigma)$를 이용한 조합적 추정을 적용한다. 특히, 작은 집합 $A\subseteq E$에 대해 외부 폐쇄 $