무작위 2색칠에서 단색 등차수열의 임계 구간

초록

본 논문은 두 색으로 무작위 색칠한 정수 구간 {1,…,N}에서 k항 등차수열이 단색으로 나타날 확률을 연구한다. N을 2^{k/2}·k^{3/2}·f(k) (f(k)→∞) 로 잡으면 확률이 1에 수렴하고, N을 2^{k/2}·k^{1/2}·g(k) (g(k)→0) 로 잡으면 확률이 0에 수렴함을 보인다. 이는 기존의 상한 N=2^{k}·log k·f(k)보다 훨씬 강력한 결과이다. 핵심 도구는 큰 공차를 갖는 등차수열들의 거의 서로소(Almost Disjoint) 성질을 이용한 조합적 추정과 보노프레리(Bonferroni) 부등식이다.

상세 분석

논문은 먼저 등차수열의 공차 d가 n/k ≤ d < n/(k−1)인 경우, 구간