2차원·3차원 RLL 제약의 무잡음 용량과 정보율을 구하는 일반화 신념 전파

본 논문은 현대 저장 매체에서 널리 사용되는 런‑길이 제한(RLL) 제약을 2‑차원 및 3‑차원 구조에 적용했을 때의 무잡음 용량과 잡음이 존재하는 경우의 상호 정보율을 계산하는 새로운 방법론을 제시한다. 기존 1‑D RLL 용량은 조합론·대수적 기법으로 정확히 구할 수 있지만, 2‑D·3‑D에서는 정확한 샤논 용량이 알려지지 않은 경우가 대부분이다. 저자는 이러한 고차원 제약 문제를 그래프 이론과 통계 물리학의 파티션 함수 문제로 변환하고, 일반화 신념 전파(Generalized Belief Propagation, GBP)를 이용해 근사적으로 해결한다. **문제 설정** - 입력 변수 집합 X = {X₁,…,X_N} (N=m·m 혹은 m·m·q) 에 대해, RLL 제약을 만족하는 배열 집합 Sₓ를 indicator 함수 f(x)로 정의한다. - 파티션 함수 Z = Σ_{x∈X} f(x) 은 Sₓ의 크기와 동일하며, 무잡음 용량 C = lim_{size→∞} (1/size)·log₂ Z 로 정의된다. - 잡음이 있는 경우, 출력 Y와 입력 X 사이의 상호 정보율 I(X;Y) = H(Y) – H(Y|X) 를 계산한다. H(Y|X) 가 분석적으로 구해질 경우, H(Y) 를 Monte‑Carlo 샘플링과 파티션 함수 추정으로 근사한다. **그래프 모델링** RLL 제약은 로컬 커널 κₐ(xᵢ,xⱼ) = 0 (if forbidden pattern) 혹은 1 (otherwise) 로 표현될 수 있다. 이러한 커널들의 곱으로 indicator 함수 f(x) 를 팩터화하고, Forney factor graph 혹은 일반 factor graph에 매핑한다. 2‑D·3‑D 제약 그래프는 짧은 사이클이 풍부해 전통적인 loopy belief propagation(LBP)은 수렴하지 않는다. **GBP와 영역 그래프** - 영역 기반 자유 에너지 근사(region‑based free energy approximation)를 사용한다. - 클러스터 변이법(CVM)을 통해 유효한 영역 집합 R과 각 영역의 카운팅 수 c_R 를 결정한다. 기본 영역의 크기는 제약 파라미터 (d,k)에 따라 결정되며, 예를 들어 (1,∞)‑RLL에서는 2×2 영역을 사용한다. - 영역 그래프를 구성하고, 각 영역 내부에서 정확히 합산한 뒤, 영역 간에 메시지를 교환하며 수렴할 때까지 반복한다. - 수렴된 영역 믿음 b_R(x_R) 로부터 영역 기반 자유 에너지 ˆF_H 를 계산하고, ˆZ = exp(−ˆF_H) 로 파티션 함수를 추정한다. **무잡음 용량 추정** Ĉ(m,m) = (1/m²)·log₂ ˆZ 로 정의하고, 다양한 2‑D·3‑D RLL 제약에 대해 m을 변화시켜 실험한다. 주요 결과는 다음과 같다. - (1,∞)‑RLL: m=300에서 0.5884 비트/심볼, 이론적 샤논 용량 0.587891…와 거의 일치. - (1,∞,d,∞) (d=2,3,4): m=200에서 각각 0.4994, 0.4346, 0.3864 비트/심볼을 얻음. 기존에 알려진 상·하한이 없던 제약에 대해 최초의 수치적 추정 제공. - (2,∞)‑RLL: m=400에서 0.4462 비트/심볼, 기존 상·하한(0.4453~0.4457) 사이에 위치. - 3‑D (1,∞)‑RLL: m=40에서 0.5267 비트/심볼, 이론적 구간(0.5225~0.5269) 내에 있음. **잡음이 있는 경우 정보율** 출력 샘플 y^{(ℓ)} 를 생성하고 p(y^{(ℓ)}) = Σ_x p(x)·p(y^{(ℓ)}|x) 를 파티션 함수 형태로 변환한다. 동일한 GBP 절차로 p(y^{(ℓ)}) 를 추정하고, H(Y) ≈ -(1/L) Σ_ℓ log p(y^{(ℓ)}) 로 계산한다. 이를 통해 다양한 SNR에서의 I(X;Y) 곡선을 얻으며, 고SNR에서 기존 방법과 일치함을 확인한다. **경계값 활용** C(m,m) 로부터 무한 크기 채널의 샤논 용량에 대한 상·하한을 구할 수 있다. m을 크게 하면 C(m,m) 은 실제 용량에 수렴한다는 점을 실험적으로 검증하였다. 이는 영역 그래프 설계와 카운팅 수 선택이 정확함을 의미한다. **결론 및 의의** - GBP와 영역 기반 자유 에너지 근사는 고차원 RLL 제약의 파티션 함수를 효율적으로 근사한다. - 무잡음 용량과 잡음이 있는 경우의 정보율을 실용적인 수치로 제공함으로써, 저장 매체 설계 시 이론적 한계를 정확히 파악할 수 있다. - 기존에 해답이 없던 2‑D·3‑D RLL 제약(특히 (1,∞,d,∞) 및 (2,∞) 등)에 대해 최초의 용량 추정치를 제공한다. - 향후 연구에서는 더 복잡한 제약(예: 다중 색상, 비정규 격자)이나 다른 채널 모델(예: 부분 응답, 비가우시안 잡음)에도 동일한 프레임워크를 적용할 가능성을 제시한다.