다변량 왓슨 분포의 최대우도 추정과 새로운 응용

본 논문은 축대칭(양쪽이 동일하게 취급되는) 단위벡터 데이터를 모델링하기 위한 다변량 왓슨 분포(Watson distribution)의 이론적 특성과 실용적 추정 방법을 심도 있게 탐구한다. 서론에서는 왓슨 분포가 방향통계에서 중요한 위치를 차지하지만, 특히 차원이 높아질수록 최대우도 추정(Maximum Likelihood Estimation, MLE)이 수치적으로 불안정해지는 문제를 제기한다. 기존 문헌에서는 라플라스 근사와 스테레일링 근사 등 여러 근사법이 제시되었지만, 차원 증가에 따라 오차가 급격히 커지거나 근사 전제가 깨지는 한계가 있었다. 본 연구는 이러한 한계를 극복하기 위해 먼저 왓슨 분포의 정규화 상수 \(C_p(\kappa)\) 를 정확히 정의하고, 이를 베셀 함수와 초구조함수의 관계를 이용해 새로운 형태로 전개한다. 특히 \(\kappa\) 가 양·음 모두 가능한 일반적인 경우를 고려하여, \(\frac{C_p'(\kappa)}{C_p(\kappa)}\) 의 고차원 전개식을 \(\frac{p-1}{2\kappa}+O(\kappa^{-2})\) 로 도출한다. 이 전개는 \(\kappa\) 가 크든 작든 두 경우에 대해 각각 폐쇄형 근사식을 제공한다는 점에서 기존 근사와 차별화된다. 다음으로 로그우도 함수의 1차 미분식 \