최적 지역 근사 알고리즘을 이용한 최대 최소 선형 계획

초록

이 논문은 비음수 행렬 A와 C 로 정의되는 max‑min 선형 계획 max ω s.t. Ax ≤ 1, Cx ≥ ω 1, x ≥ 0 에 대해, 상수 시간(지역) 분산 알고리즘을 설계하고 그 근사 비율이 모든 지역 알고리즘에 대해 최적임을 증명한다. 상한과 하한이 일치함을 보이며, 근사 비율은 입력 행렬의 최대 행·열 차수에 의존한다.

상세 분석

본 연구는 분산 컴퓨팅 환경에서 전역 정보를 사용할 수 없는 상황, 즉 각 정점이 자신의 주변 이웃(고정 반경 내)만을 관찰할 수 있는 ‘지역 알고리즘’ 모델에 초점을 맞춘다. 문제는 비음수 행렬 A∈ℝ^{m×n}와 C∈ℝ^{p×n} 로 정의되는 max‑min 선형 계획(max‑min LP)이며, 목표는 변수 벡터 x≥0 에 대해 Ax≤1 (자원 제한)과 Cx≥ω 1 (각 요구를 최소 ω 배 만족) 를 동시에 만족시키면서 ω 를 최대화하는 것이다.

알고리즘 설계의 핵심은 두 단계로 구성된다. 첫 번째 단계에서는 각 변수 x_j 에 대해 인접한 제약식들의 ‘활성도’를 로컬하게 추정한다. 이를 위해 각 제약식 i∈