C 대수 위 디랙 연산자의 APS 지수정리

초록

본 논문은 C*‑대수에 귀속된 벡터 번들을 통해 뒤틀린 디랙 연산자에 대한 Atiyah‑Patodi‑Singer(AP​S) 지수정리를 증명한다. 이를 바탕으로 η‑형식의 일반적인 곱 공식과 Lott의 고차 rho‑형식을 확장한 새로운 rho‑불변량을 정의·연구한다. 또한 Mishenko‑Fomenko 번들을 이용해 Leichtnam‑Piazza의 고차 APS 지수정리를 재현한다.

상세 분석

이 연구는 비가환 C*‑대수 A 위에 정의된 유한 차원 복소 벡터 번들 E와 그에 대응하는 Hilbert‑A‑모듈 섬유를 고려한다. 저자들은 이러한 C*‑벡터 번들을 통해 디랙 연산자 D_E를 정의하고, 경계가 있는 짝수 차원 매니폴드 M에 APS 경계조건을 적용한다. 핵심은 전통적인 스칼라 경우와 달리, 연산자의 핵과 여핵이 A‑모듈로서 무한 차원을 가질 수 있기 때문에 K‑이론적 접근이 필수적이라는 점이다.

논문은 먼저 Mishenko‑Fomenko 번들을 이용해 기본군 π₁(M)의 감소된 C*‑대수 C*_r(π₁(M))에 대한 표준 모듈을 구성하고, 이를 통해 “고차” 디랙 연산자를 얻는다. 이후 Getzler‑rescaling 기법과 초연결(super‑connection) 이론을 결합해 열핵(trace)와 η‑형식의 비가환 일반화를 수행한다. 특히, 비가환 η‑형식은 차원 감소와 경계 기여를 동시에 포착하는 복합적인 형태이며, 이를 정확히 계산하기 위해 비가환 미분 형식과 사이클 코호몰로지를 활용한다.

주요 정리에서는 index(D_E, APS) =