절차 호출을 지원하는 새로운 시퀀스 계산법

초록

본 논문은 기존의 집중 시퀀스 계산법 LKF에 외부 결정 절차 호출을 허용하는 확장 계산법 LK(T)를 제안한다. LK(T)는 이론 전용 서브시스템을 통해 자동화된 판단을 수행하면서도 전통적인 논리 규칙과의 일관성을 유지한다. 주요 결과로, LK(T)에서의 모든 증명에 대해 컷을 제거할 수 있음을 증명하였다.

상세 분석

LK(T)는 LKF의 구조적 장점을 보존하면서, ‘프로시저 호출 규칙(Proc‑Call)’이라는 새로운 인퍼런스 규칙을 도입한다. 이 규칙은 현재 시퀀스에 포함된 논리식 집합을 외부 결정 절차 T에 전달하고, T가 반환한 충족 가능성 혹은 불충족 정보를 기반으로 새로운 시퀀스를 생성한다. 중요한 점은 T가 반환하는 결과가 논리적으로 정확하고, 결정적이며, 완전함을 전제한다는 것이다. 이러한 전제 하에, LK(T)는 두 단계로 구성된 증명 검색을 수행한다. 첫 번째 단계는 전통적인 LKF의 포커싱 메커니즘을 이용해 논리식들을 긍정(positive)·부정(negative) 구역으로 구분하고, 각 구역에 맞는 규칙을 적용한다. 두 번째 단계에서는 포커싱이 멈춘 지점에서 Proc‑Call 규칙을 적용해 이론 전용 서브프로세스를 호출한다. 이때, 포커싱이 유지되는 동안에는 외부 절차가 개입하지 않으며, 따라서 기존 LKF의 정규화·정합성 증명과 거의 동일한 방식으로 진행될 수 있다.

컷 제거 증명은 크게 두 부분으로 나뉜다. 첫째, 전통적인 LKF 규칙만을 사용한 컷에 대해서는 기존의 ‘중첩된 컷 감소’ 기법을 그대로 적용한다. 둘째, Proc‑Call 규칙이 포함된 컷에 대해서는 ‘절차 호출 전개(Procedure Expansion)’라는 새로운 변환을 정의한다. 이 변환은 절차 호출이 반환한 결과를 논리식 수준으로 전개하여, 절차 호출을 제거하고 순수 논리 규칙만으로 증명을 재구성한다. 변환 과정에서 중요한 것은 절차 T가 제공하는 결과가 논리적으로 보존된다는 가정이다. 이를 통해 모든 형태의 컷이 점진적으로 감소하고, 결국 완전한 컷‑프리 증명으로 수렴함을 보인다.

이러한 메커니즘은 증명 검색의 모듈성을 크게 향상시킨다. 논리적 추론과 이론 전용 판단을 명확히 분리함으로써, 기존 자동 증명 도구와의 연동이 용이해진다. 또한, 포커싱 기반의 증명 구조는 증명 검색 공간을 효과적으로 제한하므로, 실제 구현 시 성능 이점을 기대할 수 있다.