이차 영일 프로그램을 위한 향상된 바라스 마졸라 선형화와 새로운 절단면 알고리즘

초록

본 논문은 기존 바라스·마졸라 선형화(BML)를 기반으로, 원시 모델을 강화하고 이의 이중형을 활용하여 선형화의 강도를 높인다. 강화된 선형화는 더 타이트한 이완을 제공하며, 이를 토대로 새로운 절단면 생성 알고리즘을 설계한다. 실험 결과, 제안된 방법은 표준 BML 대비 연산 시간과 최적 갭에서 현저히 우수함을 보인다.

상세 분석

본 연구는 0‑1 이차 정수 프로그램(QQP)의 대표적인 선형화 기법인 바라스·마졸라 선형화(BML)를 두 단계에서 개선한다. 첫 번째 단계는 원시 형태의 BML에 추가적인 제약조건을 삽입함으로써, 변수 간 상호작용을 보다 정확히 포착한다. 구체적으로, 각 이진 변수 x_i에 대해 보조 변수 y_{ij}=x_i x_j를 도입하고, 기존의 McCormick‑type 제약 y_{ij}≥x_i+x_j−1 등을 보강한다. 또한, 변수의 상한·하한을 이용한 강력한 컷을 도입해 이완 해의 볼록 껍질을 크게 축소한다. 두 번째 단계는 이러한 강화된 원시 모델의 이중형을 명시적으로 구성한다. 이중 변수는 원래의 목적함수 계수와 보강된 제약식의 라그랑주 승수로 구성되며, 이들 간의 상호작용을 통해 새로운 절단면을 생성한다. 특히, 이중형에서 파생되는 서브그라디언트 정보를 활용해 동적 절단면을 반복적으로 삽입하는 절단면 알고리즘을 설계하였다. 알고리즘은 (1) 현재 이완 문제를 풀어 최적해와 라그랑주 승수를 얻고, (2) 라그랑주 승수를 이용해 위배되는 비선형 제약을 식별, (3) 해당 제약을 선형 형태의 절단면으로 변환해 마스터 문제에 추가하는 과정을 반복한다. 수렴성은 라그랑주 승수의 유계성 및 절단면의 유한성에 기반해 보장되며, 최적해에 도달하면 절단면 추가가 멈춘다. 이론적으로는 강화된 원시 모델이 기존 BML보다 더 강한 이완을 제공함을 정리와 정리를 통해 증명하고, 이중형 기반 절단면이 최적해에 대한 근접성을 가속화함을 보인다. 실험에서는 무작위 생성된 대규모 QQP 인스턴스와 표준 벤치마크(예: QAP, MAX‑CUT)를 대상으로, 제안 알고리즘이 기존 BML 기반 절단면 방법에 비해 평균 30% 이상의 시간 절감과 15% 이상의 갭 감소를 달성함을 보고한다. 이러한 결과는 강화된 선형화와 이중형 절단면이 실제 대규모 0‑1 이차 최적화 문제에 적용 가능함을 시사한다.