토너먼트 조작: 컵·라운드 로빈 경기의 다항시간 해법과 최소 조작 횟수

초록

이 논문은 팀이 경기 결과를 조작(경기 포기)하는 상황을 토너먼트 그래프 모델로 정의하고, 컵(단일 탈락)과 라운드 로빈 대회의 조작 가능성을 다항시간 알고리즘으로 판단한다. 또한 원하는 승자를 만들거나 특정 팀을 탈락시키는 최소 조작 경기 수를 구하는 방법을 제시한다. 일부 점수 체계에서는 조작 판단이 NP‑완전함을 보이며, 다양한 컵 변형(재시드, 이중 탈락 등)에서도 조작 판단이 여전히 다항시간임을 증명한다.

상세 분석

본 논문은 스포츠 토너먼트를 ‘완전 유향 그래프(토너먼트 그래프)’로 모델링하고, 조작 가능한 팀 집단(연합)이 자신이 이길 수 있는 경기만을 ‘던지는’ 형태로 제한한다. 이때 조작은 그래프의 방향을 반대로 바꾸는 연산으로 정의되며, 이는 선거 조작에서 투표를 바꾸는 행위와 직접적인 대응관계를 가진다.

컵 대회에 대해서는 기존 연구인 Conitzer·Sandholm·Lang의 CSL 알고리즘을 토너먼트 그래프에 그대로 적용한다. CSL은 트리 구조의 각 내부 노드를 ‘하위 선거’로 보고, 왼쪽·오른쪽 서브트리의 가능한 승자 집합을 재귀적으로 계산한다. 여기서 승자 집합을 구할 때, 두 팀 사이에 기존 그래프에 승리 관계가 있으면 그대로 사용하고, 승리 팀이 연합에 속하면 반대 방향으로 바꿀 수 있음을 고려한다. 이 과정은 각 경기(간선)를 한 번씩만 검사하면 되므로 전체 복잡도는 O(m²) (m은 팀 수)이며, 원하는 팀이 최상위 노드의 가능한 승자 집합에 포함되는지 여부만 확인하면 된다. 파괴적 조작(특정 팀을 패배시키는 경우)도 모든 다른 팀에 대해 위와 같은 구축적 조작 가능성을 검사함으로써 동일한 시간 안에 해결한다.

라운드 로빈 대회에서는 점수 모델 S = {(i, n−i) | 0 ≤ i ≤ n} 형태(예: 승점이 총 n점 중 i점을 얻는 경우)일 때, 조작 가능 여부를 흐름 네트워크 문제로 변환한다. 고정된 경기(연합 외 팀 간)는 이미 정해진 점수를 갖고, 연합이 포함된 경기는 연합이 최소 점수를, 상대가 최대 점수를 얻도록 제한한다. 이렇게 변형된 점수 모델은 ‘정규화된’ 형태가 되며, Kern·Paulusma의 결과에 따라 승자 결정이 다항시간에 해결된다. 반면, 일반적인 점수 체계(예: 승·무·패 각각 1·0·0 또는 3·1·0 등)에서는 조작 판단이 NP‑complete임을 보인다.

또한 논문은 조작 최소화 문제를 다룬다. 컵 대회에서는 CSL 알고리즘에 조작 횟수 카운터를 추가해, 가능한 승자 집합을 계산하면서 필요한 경기 반전 수를 최소화한다. 라운드 로빈에서는 흐름 네트워크에 각 변환(경기 반전)마다 비용 1을 부여한 최소 비용 흐름을 구함으로써 최소 조작 경기 수를 얻는다. 두 경우 모두 다항시간에 최적 해를 찾을 수 있다.

마지막으로, 다양한 컵 변형(재시드, 고정·비고정 컵, 이중 탈락 컵 등)에 대해 조작 판단 알고리즘을 확장한다. 재시드가 있더라도 각 라운드마다 동일한 CSL 절차를 적용하면 되며, 이중 탈락 구조는 두 개의 독립적인 컵 트리를 순차적으로 처리함으로써 다항시간 복잡도를 유지한다.

핵심 통찰은 다음과 같다. (1) 팀이 경기 결과를 직접 조작하는 경우, 선거 조작보다 구조가 단순해져 다항시간 해결이 가능하다. (2) 조작 가능성 자체는 대부분의 실용적인 토너먼트 형식에서 쉽게 판단될 수 있지만, 점수 체계에 따라 복잡도가 급격히 상승한다. (3) 최소 조작 횟수를 구하는 알고리즘이 존재함은 실제 경기 조작이 비용 효율적으로 이루어질 수 있음을 시사한다. 따라서 스포츠 조직은 토너먼트 설계 시 이러한 조작 취약성을 고려해, 재시드 방식이나 점수 체계 변경 등으로 조작 난이도를 인위적으로 높이는 방안을 모색해야 한다.