별자율 코모넌트와 선형 분배 범주의 새로운 접근

본 논문은 선형 분배 범주(linearly distributive category, 이하 LDC) 위에 정의된 코모넌트가 별자율(star‑autonomous) 구조를 보존하도록 하는 조건을 체계적으로 탐구한다. 먼저 LDC의 기본 정의를 상기한다. LDC는 두 개의 모노이드 구조 \((C,\star ,I)\)와 \((C,\diamond ,J)\)와 이들 사이의 선형 분배 변환 \(\partial_l: A\star (B\diamond C)\to (A\star B)\diamond C\), \(\partial_r:(B\diamond C)\star A\to B\diamond (C\star A)\)가 존재하며, 이 변환들은 여러 일관성 도표를 만족한다는 점에서 기존의 선형 논리 모델링에 적합한 범주적 구조이다. 그 다음 코모넌트 \(G:C\to C\)가 두 모노이드 구조에 대해 각각 모노이달 코모넌트(monidal comonad)임을 가정한다. 즉, \((G,\phi,\phi_0)\)와 \((G,\psi,\psi_0)\)가 \(\star\)와 \(\diamond\)에 대해 각각 코모넌드 구조를 제공한다. 이때 코모넌트가 선형 분배 변환을 보존하도록 하는 두 연산식이 제시된다. 식 (1)은 \(\partial_l\)가 \(G\)-코알제브라 사상이 되도록 하는 조건이며, 식 (2)는 \(\partial_r\)에 대한 대응 조건이다. 두 식이 모두 만족되면, 코모넌드의 Eilenberg‑Moore 범주 \(C^G\)가 다시 LDC가 된다는 명제 2.1이 증명된다. 다음으로 LDC에 부정(negation) 구조가 추가된다. 부정은 두 반변함수 \(S,S':C^{op}\to C\)와 평가·공평가 사상 \(e:S A\star A\to J\), \(e':A\star S' A\to J\), \(n:I\to A\diamond S A\), \(n':I\to S' A\diamond A\)로 구성된다. 부정을 \(C^G\)로 승격하려면 \(S,S'\)가 각각 자연변환 \(\nu:S\to GS\), \(\nu':S'\to GS'\)와 함께 코모넌드와 분배법칙을 만족해야 한다. 이때 필요한 두 공리 (4)는 스트리트의 분배법칙(