연속 평점 방법: 불완전 선호 투표에 대한 일반화

**1. 연구 배경 및 목적** 전통적인 선호 투표 이론은 각 유권자가 모든 후보쌍에 대해 명시적인 선호(또는 동등)를 제공한다는 ‘완전성’ 가정을 전제로 한다. 그러나 실제 선거·설문에서는 유권자가 선호를 제한된 후보에만 표현하거나, 순위 대신 승인·단일 선택 형태로 투표하는 경우가 빈번하다. 이러한 ‘불완전 선호’ 상황에서는 기존의 순위‑기반 평점 방법이 적용되지 않으며, 특히 ‘연속 평점’—즉, 후보 간의 미세한 차이를 수치적으로 드러내는—을 유지하기 어렵다. 본 논문은 이러한 문제를 해결하고자, 불완전 투표에서도 연속적인 사회적 평점을 산출할 수 있는 CLC(Continuous Llull Condorcet) 평점 방법을 제안한다. **2. 기본 개념 및 데이터 모델** - **Llull 행렬**: 각 후보쌍 (x,y) 에 대해 Vₓy (선호를 표시한 유권자 수)와 전체 유권자 수 V 를 이용해 비율 vₓy = Vₓy/V 를 정의한다. 불완전 투표에서는 vₓy + v_yx ≤ 1 이며, ‘무정보’ 상황은 두 값이 모두 0이 된다. - **투표 해석 규칙**: (a) 순위가 명시된 경우 위·아래 관계를 선호로, (b) 동점은 ½ 표씩 나눠, (c) 리스트에 포함된 후보는 리스트 외 후보보다 우선, (d) 리스트에 없는 두 후보에 대해서는 정보가 없으며, 필요 시 (d′)를 적용해 동점 처리한다. **3. 방법론 개요** 전체 절차는 0~6단계로 구성된다. 0~3단계는 완전 투표와 동일하며, 4·5단계가 불완전성을 보정한다. - **Step 0**: Llull 행렬 (vₓy) 와 투표량 tₓy = vₓy + v_yx (‘turnout’)를 계산한다. - **Step 1 (간접 점수)**: 경로 α = x₀x₁…xₙ 에 대해 v_α = min_i v_{x_i x_{i+1}} 를 정의하고, v*ₓy = max_{α:x→y} v_α 를 구한다. 이는 ‘최대 최소’ 연산으로, 후보 간의 가장 강한 간접 선호를 반영한다. - **Step 2 (간접 마진 및 비교 관계)**: m_κₓy = v*ₓy − v*yₓ 를 마진이라 하고, 양의 마진을 가진 쌍을 κ = {xy | m_κₓy > 0} 에 포함한다. κ는 전이성을 갖는 부분 순서이며, 이를 확장한 전순서 ξ (‘admissible order’)를 선택한다. ξ는 κ ⊆ ξ ⊆ κ̂ (마진≥0인 쌍) 를 만족한다. - **Step 3 (초기 마진 프로젝션)**: ξ에서 인접한 후보쌍 (x, x′) 에 대해 m_σₓx′ = min_{p≻_ξ x, x′≻_ξ q} m_κ_{pq} 를 정의한다. 이는 ξ에 따라 가능한 최소 마진을 추출한다. - **Step 4 (투표량 프로젝션 – 2차 최적화)** 원래 투표량 tₓy 를 보정해 대칭성 τₓy = τ_yx 와 제약 m_σₓx′ ≤ τₓx′ ≤ 1, 0 ≤ τₓz − τₓ′z ≤ m_σₓx′ ( z≠x,x′ )을 만족하도록 한다. 목표는 Φ = ∑_{x≠y}(τₓy − tₓy)² 를 최소화하는 τ 를 찾는 것이며, 이는 표준 2차 프로그래밍으로 해결 가능하다. 최적해를 t_σₓy 라 표기한다. - **Step 5 (구간 구성)** 각 인접 쌍에 대해 γₓx′ =