가중치와 가변 클러스터링을 갖는 증분 로컬월드 네트워크 모델

초록

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본 논문은 새로운 노드가 기존 링크의 양 끝에 동시에 연결될 때 해당 링크의 가중치가 증가하는 “증분 행동”과, 삼각형 형성을 조절하는 확률 p를 통해 클러스터링을 가변적으로 조절하는 메커니즘을 결합한 가중치 로컬월드 네트워크 모델을 제안한다. 로컬월드 선호 연결(LPA), 강도 선호 연결(SPA)과 함께, 모델은 지역 커뮤니티(로컬월드)의 성장과 전체 네트워크의 규모 확대를 동시에 설명한다. 평균장 이론을 이용해 로컬월드 크기, 정점 강도·차수·링크 가중치의 분포를 파워‑law 형태로 유도하고, 강도와 차수가 선형 관계임을 보인다. 또한 가중 클러스터링 계수를 새롭게 정의하고, 증분 파라미터 δ와 삼각형 형성 확률 p가 클러스터링 및 네트워크 동역학(예: 전염병 확산)에 미치는 영향을 분석한다. 시뮬레이션 결과는 이론적 예측과 일치하며, 모델이 실제 사회·기술 네트워크의 구조적 특성을 잘 재현함을 확인한다.

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상세 분석

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이 연구는 기존의 로컬월드 모델에 두 가지 중요한 확장을 도입한다. 첫 번째는 “증분 행동(increment behavior)”이다. 새로운 정점 v가 기존 링크 (v_i, v_j)의 양 끝에 동시에 연결될 경우, 해당 링크의 가중치 w_{ij}가 일정량 δ만큼 증가한다. 이는 실제 네트워크에서 공통된 파트너를 공유하는 두 정점 사이의 상호작용 강도가 강화되는 현상을 반영한다(예: 공항 네트워크에서 동일한 허브를 경유하는 두 공항 간 운항량 증가). 두 번째는 “가변 클러스터링(tunable clustering)”이다. 새로운 정점이 기존 정점 v_i에 연결될 때, 확률 p로 v_i의 이웃 v_j 중 하나와 추가 연결(TF 링크)을 만들며, 이 과정 역시 증분 행동에 의해 기존 링크 (v_j, v_k)의 가중치를 증가시킨다. 따라서 p가 클수록 삼각형이 많이 형성되고, 동시에 기존 가중치가 누적돼 네트워크의 가중 클러스터링 계수 \tilde c_{wi}가 크게 상승한다.

모델의 성장 규칙은 세 단계로 구성된다. (1) 확률 q로 새로운 로컬월드(크기 n₀의 완전 그래프)를 삽입하고, m개의 기존 로컬월드와 PA 링크를 만든다. (2) 확률 1‑q에서 기존 로컬월드에 새로운 정점을 추가하고, 역시 m개의 PA 링크를 만든다. (3) 각 새 링크 생성 후 확률 p로 TF 링크를 도입한다. 이때 모든 새 링크와 기존 링크의 초기 가중치는 w₀=1이며, 증분 파라미터 δ가 적용된다.

평균장 분석을 통해 로컬월드 크기 N_i는 시간에 따라 dN_i/dt ∝ N_i · (∑_j N_j)⁻¹ 를 만족하므로, N_i의 분포는 P(N) ∝ N^{‑γ} 이며 γ = 1 + q(n₀‑1)이다. 이는 로컬월드가 스케일‑프리 구조를 갖는 것을 의미한다. 정점 강도 s_i와 차수 k_i는 각각

 ds_i/dt = A s_i t, dk_i/dt = C s_i t

와 같은 형태로 성장하고, 초기 조건 s_i(t_i)=k_i(t_i)=m(1+p) 로부터

 s_i(t) = m(1+p)(t/t_i)^A, k_i(t) ≈ s_i(t)

가 도출된다. 여기서 A = m(1+p+2pδ)/