양자 질의 복잡도로 본 AC0의 한계

초록

이 논문은 입력 함수 f 가 2대1인지 혹은 거의 2대1인지 판별하는 양자 알고리즘이 최소 Θ(n) 개의 질의를 필요로 함을 증명한다. 같은 하한은 f:

상세 요약

논문은 먼저 “2‑to‑1”과 “almost 2‑to‑1” 함수 구분 문제를 정의한다. 2‑to‑1 함수는 각 출력값이 정확히 두 개의 입력에 매핑되는 반면, almost 2‑to‑1 함수는 오직 두 개의 입력만이 서로 다른 출력값을 갖고 나머지는 2‑to‑1 형태를 유지한다. 저자들은 이 문제를 양자 질의 모델에서 다루며, 기존에 알려진 Ω(√n) 또는 Ω(n^{2/3}) 하한보다 강한 Ω(n) 하한을 증명한다. 핵심 기법은 다항식 방법론(polynomial method)을 이용해, 해당 문제의 결정 함수를 나타내는 다항식의 차수가 최소 n 임을 보이는 것이다. 차수가 n 이하라면, 입력에 대한 작은 변동에도 함수값이 크게 변하지 않아 양자 알고리즘이 충분히 구별할 수 없게 된다.

다음으로, 전사성(surjectivity) 판단 문제로 범위를 확장한다. 입력 크기를 2n‑2 로 설정하고, 출력 집합을