기하학으로 푸는 스투르미안 단어의 새로운 비밀

초록

저자들은 n×n 격자 위의 특정 직선을 유한 스투르미안 단어 집합과 연결하는 새로운 기하학적 매핑을 제시한다. 이 매핑을 이용해 길이 n인 스투르미안 단어와 그 회문 단어의 개수를 기존 결과와 동일하게 새롭게 증명하고, 스투르미안 단어의 모든 인자가 정확히 두 개의 반환 단어를 갖는다는 정리를 직관적인 기하학적 논증으로 재구성한다.

상세 분석

본 논문은 스투르미안 단어의 조합론적 특성을 기하학적 시각에서 재조명한다. 핵심 아이디어는 n×n 격자에 대각선과 평행한 직선을 배치하고, 각 직선을 (i,j) 좌표계에서 (0,0)부터 (n,n)까지의 경로와 일대일 대응시키는 매핑을 정의하는 것이다. 이 매핑은 격자상의 점들을 순서대로 방문하면서 “위쪽” 혹은 “오른쪽” 이동을 기록하는 방식으로, 결과적으로 0‑1 문자열을 생성한다. 중요한 점은 이러한 문자열이 정확히 길이 n인 유한 스투르미안 단어와 일치한다는 점이다. 저자들은 이 대응 관계를 정리 1에서 증명하고, 이를 기반으로 기존에 알려진 스투르미안 단어의 개수 공식
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