다공성 매체에서 트레이서 분산을 위한 통합 해석 모델

초록

본 논문은 층류 흐름 하에서 다공성 매체를 통과하는 트레이서의 장·횡방향 분산을 설명하는 새로운 해석 모델을 제시한다. 물리적 직관에 기반해 확산과 대류의 경쟁을 고려하고, Peclet 수에 대한 전 범위(8 옥텟)에서 적용 가능한 식을 도출한다. 특히 중간 스케일에서 나타나는 비선형 스케일링을 단일 연속식으로 포착하며, 새로운 물성인 임계 Peclet 수(Pe_c)를 도입해 매체의 중간 규모 기하학적 특성을 정량화한다. 실험·수치 데이터와의 비교에서 높은 적합성을 보이며, 기존의 파워‑law 구분을 대체할 수 있음을 입증한다.

상세 분석

본 연구는 다공성 매체 내 트레이서 운송을 기술하기 위해 ‘기계적 분산’과 열확산의 두 메커니즘을 시간 비율로 가중 평균하는 간단하지만 강력한 가정을 도입한다. 흐름 속도 v가 증가함에 따라 트레이서가 기계적 분산을 경험하는 시간 비율 t_L/t_0이 단조 증가 함수 f(v/v_c)로 변한다고 가정하고, 가장 단순한 형태인 f(x)=x를 선택한다. 이를 통해 장방향 총 확산계수 D_tL은

D_tL = D_0 + β_L v (v/v_c) / (1 + v/v_c)

라는 식(2)을 얻으며, 이는 Padé 근사와 동일한 형태이다. 이 식은 v→0에서 순수 열확산 D_0, v→∞에서 기계적 분산 β_L v 로 수렴하고, 중간 영역에서는 D_tL ≈ β_L v²/v_c 라는 2차 스케일링을 제공한다. 차원less 형태로 변환하면

D_tL/D_m = D_0/D_m + β’_L Pe (Pe/Pe_c) / (1 + Pe/Pe_c)

가 된다. 여기서 Pe = v G/D_m, Pe_c = v_c G/D_m이며, β’_L은 기하학적 비례상수이다. 전이 영역의 존재는 D_0/(β_L v_c) ≪ 1이라는 조건이 충족될 때 명확히 드러난다.

횡방향 분산은 흐름이 직접적인 구동력을 제공하지 않으므로, 열확산이 항상 존재하고 기계적 분산은 특정 채널에서만 작용한다는 점을 반영해

D_tT/D_m = D_0/D_m + β’_T Pe (Pe/Pe_c) / (1 + Pe/Pe_c)

라는 식(5)을 제시한다. 실험 데이터와 수치 시뮬레이션(CT 스캔 기반 사암)에서 이 두 식을 동시에 피팅하면, Pe_c와 β’_L, β’_T가 매체 고유의 물성임을 확인한다. 특히 Pe_c가 1보다 크게 나타나는 점은 전이 현상이 입자·공극 크기 G보다 더 큰 메조스케일에서 일어난다는 물리적 의미를 갖는다.

모델의 핵심 통찰은 (1) 복잡한 미세구조를 단일 메조스케일 파라미터 Pe_c로 압축, (2) 전통적인 파워‑law 구간 구분을 불필요하게 만들며, (3) 실험·수치 데이터에 대한 높은 적합도와 물성 추출 가능성을 제공한다는 점이다.