무작위 그래프의 차원과 오일러 특성에 관한 연구

본 논문은 그래프 이론에서 차원과 오일러 특성을 정의하고, 이들을 무작위 그래프 G(n,p) 모델에 적용함으로써 새로운 확률적 위상수학을 전개한다. 1. **귀납적 차원의 정의** 빈 그래프에 차원을 ‑1 이라 두고, 일반 그래프 G 에 대해 dim(G)=1+ (1/|V|)∑_{x∈V} dim(S(x)) 으로 정의한다. 여기서 S(x) 는 정점 x 의 이웃 집합이며, 차원은 정수일 필요가 없고, 완전 그래프 K_n 에 대해 dim(K_n)=n‑1 이 된다. 정점 차원 dim(v)=1+dim(S(v)) 을 도입하고, 차원은 dim(G)= (1/|V|)∑_{v∈V} dim(v) 으로도 표현된다. 2. **오일러 특성 및 곡률** 오일러 특성은 χ(G)=∑_{k≥0} (‑1)^k v_k ( v_k 는 K_{k+1} 클리크 수) 로 정의하고, 정점 곡률 K(v)=∑_{k≥0} (‑1)^k V_{k‑1}(v)/(k+1) ( V_{k‑1}(v)는 S(v) 내 K_k 클리크 수) 로 정의한다. 가우스‑베르크 정리 χ(G)=∑_{v∈V}K(v) 가 성립한다. 3. **무작위 그래프 G(n,p) 에서의 기대값** 각 간선이 독립적으로 확률 p 로 존재하는 G(n,p) 에 대해 차원의 기대값 d_n(p)=E_{n,p}