해밀토니안 몬테카를로의 기하학

본 논문은 해밀토니안 몬테카를로(Hamiltonian Monte Carlo, HMC)의 수학적 기반을 심볼릭 기하학(symplectic geometry) 관점에서 체계적으로 재구성한다. 먼저, 매끄러운 n 차원 다양체 M 에 대해 접공간 TM과 공접공간 T* M 을 정의하고, 이들 번들의 좌표 (qᵢ, vⱼ) 와 (qᵢ, pⱼ) 를 도입한다. 좌표 변환 q→Q 가 주어지면, 1‑형식 d qᵢ 와 모멘텀 좌표 pᵢ 가 각각 Jacobian 행렬에 의해 선형 변환되며, 이때 촉각형식 θ = −∑ pᵢ d qᵢ 와 그 외부 미분 ω = dθ = ∑ d qᵢ ∧ d pᵢ 가 좌표 독립성을 유지한다는 점을 증명한다. ω는 비퇴화이며 닫혀 있기 때문에 (T* M, ω) 는 심볼릭 다양체가 된다. 이제 임의의 스칼라 함수 H(q,p) 로부터 해밀토니안 벡터장 X_H 를 ω( X_H ,·)=dH 로 정의한다. X_H 가 정의하는 미분 방정식은 고전역학의 해밀토니안 방정식 ˙qᵢ=∂H/∂pᵢ, ˙pᵢ=−∂H/∂qᵢ 와 동일하며, 이 흐름은 H 자체를 보존한다(∂H/∂t=0). 또한 위상 부피 형태 Ω=ωⁿ 도 보존(L_{X_H}Ω=0) 하므로, Liouville 정리와 일치한다. 마코프 전이 커널을 만들기 위해 저자는 확률밀도 π(q,p)∝exp(−H(q,p)) 를 정의하고, 흐름 φ_t (시간 t 에 대한 해밀토니안 흐름) 를 이용해 제안 분포를 만든다. 흐름은 상세 균형을 만족하므로, 메트로폴리스 수용-거부 단계 없이도 정확히 목표 분포를 유지한다. 그러나 수치적 적분(예: Leapfrog)에서 발생하는 오차와 가역성 보장을 위해 (1) 메트로폴리스 보정, (2) 모멘텀 반사(p→−p) 를 포함한 가역성 조건 ˙q(q,−p)=−˙q(q,p), ˙p(q,−p)=+˙p(q,p) 을 도입한다. 이렇게 하면 제안 연산자는 상세 균형을 만족하고, 전이 커널은 에르고딕하게 목표 분포에 수렴한다. 핵심적인 질문은 “어떤 해밀토니안이 주어진 목표 분포 π(q) 와 호환되는가?”이다. 저자는 전체 공접공간에 대한 결합 분포를 π(q,p)=π(p|q)π(q) 로 분해하고, 조건부 모멘텀 분포 π(p|q) 를 자유롭게 선택할 수 있음을 보인다. 따라서 가장 일반적인 허용 가능한 해밀토니안은 H(q,p)=−logπ(p|q)−logπ(q)+C = T(q,p)+V(q)+C 이며, 여기서 T와 V 는 각각 스칼라 밀도이다. T는 모멘텀에 대한 사전 분포를 정의하고, V는 목표 분포의 로그-우도에 해당한다. 이 분해는 기존 물리학적 해밀토니안(예: kinetic+potential)과 동일하지만, 물리적 의미에 얽매이지 않고 베이지안 추론에 맞게 자유롭게 설계할 수 있다. 조건부 모멘텀 분포를 설계할 때 고려할 수 있는 전략으로는 (a) 표준 정규분포를 사용해 전통적인 HMC를 복원, (b) 위치 의존적인 질량 행렬 M(q) 를 도입해 Riemannian HMC 로 확장, (c) 목표 분포의 고차 통계량(예: 지역적 공분산) 을 반영한 비정규 사전으로 설계해 샘플링 효율을 극대화하는 방법 등이 있다. 이러한 설계 자유도는 흐름이 보존하는 심볼릭 구조와 충돌하지 않으며, Jacobian determinant 가 1인 심볼릭 동형사상(symplectomorphism) 하에서 측도 보존이 자동으로 유지된다. 마지막으로, 저자는 HMC의 전체 알고리즘을 다음과 같이 요약한다: (1) 목표 분포 π(q) 를 정의하고, (2) 적절한 π(p|q) 를 선택해 H를 구성, (3) Leapfrog 등으로 근사 해밀토니안 흐름을 시뮬레이션하고, (4) 메트로폴리스 수용-거부와 모멘텀 반사를 적용해 상세 균형을 보장, (5) 모멘텀을 새로 샘플링하거나 Gibbs 단계와 결합해 전체 체인을 에르고딕하게 만든다. 이 과정에서 심볼릭 기하학이 제공하는 보존 법칙과 좌표 불변성은 알고리즘의 정확성과 효율성을 이론적으로 보증한다.