여성의 거짓말이 남성에게 미치는 영향: 가레 샤플리 매칭에서의 ‘자매애’와 성별 이분법

초록

본 논문은 가레-샤플리 안정 매칭 알고리즘에서 여성들이 선호도를 조작할 때 발생하는 결과를 분석한다. “거짓말을 한 여성 중 어느 누구도 손해를 보지 않을 경우, 모든 여성은 손해를 보지 않으며 남성도 이득을 얻지 못한다”는 강력한 이분법을 증명하고, 거짓말을 한 여성과 진실을 말한 여성 사이에 ‘자매애’가 존재함을 보인다. 또한, 개인 최적이 아닌 거짓말이 필요할 수 있음을 예시와 일반적인 증명을 통해 제시하고, 다대다(다자녀) 매칭으로의 확장도 논의한다.

상세 분석

가레-샤플리 알고리즘은 남성이 제안하고 여성은 선택하는 구조에서 남성에게는 최적(stable) 매칭을, 여성에게는 최악의 매칭을 제공한다는 고전적 결과가 있다. 기존 연구(Dubins‑Friedman, Gale‑Sotomayor)는 여성들이 선호도를 조작하면 일부 여성은 더 나은 파트너를 얻을 수 있지만, 그 대가로 최소 한 명의 남성이 손해를 본다는 “여성‑남성 교환” 현상을 보였다. 이 논문은 그 교환 관계를 한 단계 끌어올려, **“거짓말을 한 여성 중 어느 누구도 손해를 보지 않을 경우, 전체 여성 집단도 손해를 보지 않으며 남성 집단도 이득을 얻지 못한다”**는 정리를 제시한다.

핵심 정의는 ‘better‑off’와 ‘worse‑off’이며, 이는 각 개인이 자신의 진실 선호도에 따라 원래 매칭과 새로운 매칭을 비교한다. 논문은 먼저 모든 거짓말 여성(L)이 개인 최적(pers personally‑optimal) 방식으로 거짓 선호를 선언할 때 정리가 쉽게 증명된다는 점을 보여준다. 이 경우 새로운 매칭은 진실 선호 하에서도 안정(stable)하므로, 여성은 누구도 손해를 보지 않고 남성도 이득을 얻지 못한다.

하지만 실제 상황에서는 거짓말 여성들이 협력적으로 비최적 거짓 선호를 선택할 경우가 존재한다. 저자는 4명 남·여 사례를 들어, 두 여성 w₁, w₂가 각각 비최적 거짓 선호를 선언함으로써 두 사람 모두 더 나은 파트너를 얻고, 심지어 다른 무죄 여성까지도 개선되는 상황을 제시한다. 이 매칭은 진실 선호 하에서는 불안정하며, 단순히 선호 리스트를 잘라내는(truncation) 방식으로는 재현할 수 없다는 점에서 기존 증명 방법을 넘어선다.

일반 증명에서는 여러 보조 정의와 보조 정리를 도입한다. ‘rejecter’는 원래 매칭에서 자신의 새로운 파트너를 거절한 여성을 의미하고, B(w)와 같은 보조 인물들을 정의해 여성‑남성 간의 거절·선호 관계를 체계화한다. 주요 레마들은 다음과 같다:

1. 여성이 worse‑off이면 그녀가 원래 매칭에서 받은 남성은 better‑off이다.
2. 남성이 better‑off이면 그의 새로운 파트너는 ‘rejecter’이다.
3. ‘rejecter’는 반드시 worse‑off이며, 그가 거절한 남성은 또 다른 ‘rejecter’를 만든다.

이러한 연쇄적 관계를 귀납적으로 추적하면, 만약 어떤 남성이 better‑off라면 무한히 감소하는 ‘rejecter’ 사슬이 발생해야 하는데, 이는 유한한 집합에서 모순을 일으킨다. 따라서 남성의 better‑off는 존재할 수 없으며, 결과적으로 여성 전체도 worse‑off가 될 수 없다는 것이 증명된다.

마지막으로 논문은 다대다(다자녀) 매칭, 즉 각 남성·여성이 여러 파트너를 가질 수 있는 상황으로 결과를 확장한다. 여기서는 ‘quota’ 개념을 도입해 각 개인이 원하는 파트너 수를 지정하고, 기존 증명의 구조를 그대로 적용한다. 따라서 ‘자매애’와 성별 이분법은 단일 매칭뿐 아니라 다대다 매칭에서도 유지된다.

이 논문은 여성의 전략적 거짓말이 남성에게 미치는 부정적 외부효과를 보다 강력히 제한하고, 동시에 여성 집단 내에서의 연대(‘자매애’)가 존재함을 이론적으로 뒷받침한다는 점에서 매칭 이론에 중요한 통찰을 제공한다.