3SAT 다항식 알고리즘 오류 분석

초록

나렌드라 차우다리(Narendra Chaudhari)가 제안한 3‑SAT 다항식 해결 알고리즘에 논리적 결함이 존재함을 밝힌 논문이다. 저자는 알고리즘의 핵심 절차를 재현하고, 실제 3‑SAT 인스턴스를 이용해 알고리즘이 잘못된 판단을 내리는 사례를 제시한다. 이를 통해 해당 알고리즘이 다항식 시간 내에 모든 3‑SAT 문제를 정확히 해결하지 못한다는 점을 증명한다.

상세 분석

본 논문은 차우다리의 “Improved Polynomial Algorithm for 3‑Sat”을 면밀히 검토한 뒤, 그 증명 과정과 구현 세부 사항에서 발생하는 구조적 오류를 체계적으로 드러낸다. 우선 차우다리 알고리즘은 변수‑리터럴 그래프를 구성하고, 각 절을 “충족 가능성 집합”으로 변환한 뒤, 반복적인 축소 과정을 통해 최종 할당을 도출한다는 전제에 기반한다. 논문은 이 과정에서 두 가지 핵심 가정이 부정확함을 지적한다. 첫 번째는 “모든 절이 독립적으로 축소될 수 있다”는 가정으로, 실제로는 서로 얽힌 절들 사이에서 축소가 상호 모순을 일으킬 수 있다. 두 번째는 “충족 가능성 집합의 교집합이 비어 있지 않다”는 전제가 모든 단계에서 유지된다는 주장인데, 이는 특정 변수 조합에서 교집합이 공집합이 되는 경우를 간과한다.

이를 입증하기 위해 저자는 세 개의 대표적인 3‑SAT 인스턴스를 제시한다. 첫 번째 인스턴스는 변수 x₁, x₂, x₃에 대해 (x₁∨¬x₂∨x₃)∧(¬x₁∨x₂∨¬x₃)∧(x₁∨x₂∨¬x₃) 형태이며, 차우다리 알고리즘은 첫 단계에서 x₁을 true 로 고정하고 나머지를 축소한다. 그러나 실제로는 x₁을 false 로 설정해야 전체 식이 만족된다. 두 번째 인스턴스는 더 복잡한 교차 절 구조를 갖고, 알고리즘이 “우선순위에 따라 변수 선택” 규칙을 적용하면서 발생하는 비선형적 상호작용을 무시한다. 결과적으로 알고리즘은 충돌을 감지하지 못하고 잘못된 할당을 반환한다. 세 번째 인스턴스는 대규모 변수 집합을 포함하지만, 특정 클러스터 내에서 발생하는 “순환 의존성”을 제거하지 못해 무한 루프에 빠지거나 잘못된 종료 조건에 도달한다.

논문은 이러한 사례들을 통해 차우다리 알고리즘이 실제로는 NP‑완전 문제인 3‑SAT을 다항식 시간에 해결할 수 없으며, 증명 과정에서 사용된 귀류법과 귀납적 단계가 논리적 비약을 포함하고 있음을 강조한다. 특히, 알고리즘이 “모든 가능한 부분 할당을 탐색하지 않는다”는 점이 핵심적인 결함으로, 이는 P=NP 문제에 대한 잘못된 결론을 초래한다.