루프가 있는 희소 정규 그래프의 스펙트럼 분석

초록

본 논문은 정규 Husimi 그래프(짧은 루프가 임의로 배치된 희소 그래프)의 인접 행렬 스펙트럼을 정확히 구하는 식을 제시한다. 무방향·유방향 경우를 모두 다루며, 루프 길이 ℓ와 차수 k에 따라 스펙트럼 갭과 동기화 지표 Q가 어떻게 변하는지를 분석한다. ℓ가 커질수록 Kesten‑McKay 법칙으로 수렴하고, 짧은 루프는 스펙트럼 갭을 감소시키고 동기화 안정성을 악화시킴을 확인한다.

상세 분석

본 연구는 (ℓ, k)‑정규 Husimi 그래프를 모델로 삼아, 무방향과 유방향 두 경우에 대해 인접 행렬 J의 스펙트럼 밀도 ρ(λ)를 정확히 계산한다. 무방향 그래프에서는 해석적 해를 얻기 위해 복소 변수 z = λ − iε를 도입하고, G(z) = (z − J)⁻¹의 대각 원소 Gₛ를 구한다. 핵심은 식 (2)에서 제시된 ℓ‑1 차원의 행렬식 역전을 이용해 Gₛ를 정의하고, 이를 식 (1)과 결합해 ρ(λ) = (1/π) Im