위상 불변량 계산 복잡도와 컵 길이 및 유리 LS 카테고리의 NP 난이도

논문은 먼저 계산 복잡도 이론의 기본 정의를 소개하고, P와 NP, NP‑hard, NP‑complete의 개념을 정리한다. 이어서 위상학적 불변량인 컵‑길이와 Lusternik‑Schnirelmann(LS) 카테고리, 그리고 토머(Tómer) 불변량을 유리 호모톱 이론의 언어로 정의한다. 특히, 단순 연결이며 유리 동차와 유리 호모톱이 유한 차원을 갖는 공간 X는 최소 Sullivan 모델 \((\Lambda V,d)\) 로 완전히 기술될 수 있음을 강조한다. 여기서 \(\Lambda V\)는 자유 교환 대수이며, 차등 \(d\)는 \(V\)의 원소들을 2차 이상의 단어에 매핑한다. 주요 목표는 두 문제를 다루는 것이다. 문제 P: 주어진 \((\Lambda V,d)\) 의 컵‑길이를 구하라. 문제 Q: 주어진 \((\Lambda V,d)\) 의 유리 LS‑카테고리를 구하라. 두 문제 모두 입력은 최소 Sullivan 모델의 생성원 차수와 차등의 계수들이다. 저자는 먼저 그래프 색칠 문제를 이용한 감소를 설계한다. 임의의 단순 그래프 \(G=(V,E)\)와 정수 \(k\ge3\)을 받아, 다음과 같은 순수(pure) 타원 Sullivan 대수 \((\Lambda V_{G,k},d)\) 를 만든다. 짝수 차원 생성원 \(x_i\) (차수 2, \(dx_i=0\))와 홀수 차원 생성원 \(y_{ij}\) (차수 \(2k-3\), \(dy_{ij}= \sum_{l=1}^{k-1} x_l^{\,k-1}\))를 정의한다. 이때 차등은 그래프의 인접 관계에 따라 모든 \(y_{ij}\) 에 동일한 다항식이 적용된다. 추가로, 차수를 크게 올린 생성원 \(z_i\)와 차등 \(dz_i = x_i^{\,4(d'_{n,k}+n+1)}\) 를 도입해 확장 대수 \((\Lambda W_{G,k},d)\) 를 만든다. 이 과정은 그래프와 \(k\) 의 크기에 대해 다항 시간에 수행된다. 다음 단계에서는 타원성(ellipticity)과 영원성(nilpotency) 사이의 동등성을 증명한다. Lemma 3.2에 따르면, \((\Lambda V_{G,k},d)\) 가 타원이면 모든 \(