거의 항등인 주입 부분자기함수 모노이드의 구조와 위상적 특성

초록

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본 논문은 무한 기수 λ에 대해 “거의 모든 원소에서 항등인” 주입 부분자기함수들의 반군집 (\mathscr{I}^{\infty}{\lambda}) 를 연구한다. 그린 관계, 양쪽 아이디얼, 합동류를 완전히 기술하고, (\lambda=\omega) 인 경우에 한해 하우스도프·헤리터리·베어 위상 (\tau) 가 세미토폴로지컬 반군집 구조를 유지하려면 반드시 이산임을 보인다. 또한 (\mathscr{I}^{\infty}{\lambda}) 의 임의 위상적 반군집 내 폐쇄를 설명하고, 무한 기수에 대해 이산 반군집이 컴팩트 위상 반군집에 삽입될 수 없음을 증명한다. 마지막으로 두 개의 비이산 하우스도프 위상을 구성해 (\mathscr{I}^{\infty}_{\lambda}) 를 위상 역반군집으로 만든다.

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상세 분석

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(\mathscr{I}^{\infty}{\lambda}) 은 집합 (X) ((|X|=\lambda)) 위의 모든 주입 부분자기함수 (\alpha) 중에서 ({x\in X\mid \alpha(x)\neq x}) 가 유한한 것들만 모은 반군집이다. 이 정의는 전통적인 전이동반군집 (\mathscr{I}{\lambda}) 에서 “거의 항등”이라는 강한 제한을 가함으로써 구조를 크게 단순화한다. 저자는 먼저 (\mathscr{I}^{\infty}_{\lambda}) 의 원소들을 “정지점 집합” (F(\alpha)={x\mid \alpha(x)=x}) 로 구분하고, (|X\setminus F(\alpha)|) 를 “변동 차수”라 명명한다. 변동 차수가 같은 두 원소 (\alpha,\beta) 사이에 존재하는 전단사 (\sigma) 로 (\beta=\sigma\alpha\sigma^{-1}) 가 가능함을 보임으로써 (\mathscr{J})‑관계(그린 관계 중 가장 큰 관계)가 변동 차수에 의해 완전히 결정된다는 사실을 얻는다. 구체적으로
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