비반복 게임의 새로운 전략

초록

두 명이 번갈아가며 기호를 선택해 만든 수열에서 첫 번째 플레이어는 반복을 피하고, 두 번째 플레이어는 반복을 만들려 한다. 저자는 기존 연구가 제시한 37개의 기호 대신 6개의 기호만으로도 첫 번째 플레이어가 무한히 긴 비반복 수열을 만들 수 있음을, 그리고 반복이 발생하면 해당 구간을 바로 삭제하는 변형 게임에서는 8개의 기호만으로도 같은 결과를 얻을 수 있음을 보였다.

상세 분석

이 논문은 비반복 수열에 대한 고전적인 결과를 게임 이론적 관점에서 재해석한다. 먼저 ‘반복’은 연속된 구간 xx = x₁…x_h x₁…x_h 로 정의하고, ‘비반복’은 어떠한 크기의 반복도 포함하지 않는 수열을 의미한다. 1906년 Thue는 3개의 기호만으로 임의의 길이까지 비반복 수열을 구성할 수 있음을 증명했으며, 이는 비반복성 연구의 출발점이 되었다. 최근에는 두 플레이어가 번갈아 기호를 선택하는 ‘비반복 게임’이 제안되었는데, 여기서 첫 번째 플레이어는 반복을 피하려 하고, 두 번째 플레이어는 반복을 강제하려 한다. Pegden은 37개의 기호를 사용하면 첫 번째 플레이어가 크기 > 1인 반복을 전혀 만들지 않으며 무한히 진행할 수 있음을 보였지만, 알파벳 크기의 최적화는 여전히 미해결 문제였다.

저자는 Moser–Tardos가 제시한 ‘엔트로피 압축’ 기법을 차용해 알고리즘적 로컬 레마(LLL)의 새로운 증명을 적용한다. 핵심 아이디어는 첫 번째 플레이어가 무작위로 기호를 선택하되, 선택 과정에서 발생하는 ‘충돌’(즉, 반복 발생)을 즉시 탐지하고 해당 선택을 재시도하는 것이다. 이때 재시도 횟수는 로그함수 수준으로 제한되며, 전체 과정은 기대값이 유한한 시간 안에 종료한다는 점을 보인다. 구체적으로, 6개의 기호 집합 Σ₆에 대해 다음과 같은 전략을 설계한다. 현재 수열의 끝부분을 살펴보고, 새 기호를 선택할 때 그 기호가 앞선 h개의 블록과 동일한 패턴을 만들지 않도록 조건을 검사한다. 만약 조건을 위반하면 다른 기호를 선택하고, 이 과정을 반복한다. 충돌이 발생할 확률은 각 단계마다 ≤1/|Σ| 이므로, 전체 기대 충돌 횟수는 Σ의 크기에 반비례한다. 이를 통해 6개의 기호만으로도 무한히 긴 비반복 수열을 생성할 수 있음을 증명한다.

또 다른 변형인 ‘반복 삭제 게임’에서는 반복이 발생하면 해당 블록을 즉시 삭제하고 다음 플레이어가 이어서 진행한다. 여기서는 삭제 후 남은 수열의 구조가 복잡해질 수 있지만, 저자는 동일한 엔트로피 압축 논리를 적용해 8개의 기호만으로도 첫 번째 플레이어가 언제든 비반복 수열을 유지할 수 있음을 보인다. 삭제 연산은 충돌을 ‘소멸’시키는 효과가 있어, 실제로 필요한 알파벳 크기를 약간 늘려야 하지만 여전히 8이라는 작은 수에 머문다.

이러한 결과는 기존의 확률적 존재 증명(LLL)과 달리 실제적인 알고리즘을 제공한다는 점에서 의미가 크다. 또한, 비반복성이라는 조합적 제약을 게임 이론과 결합함으로써, 전략적 선택이 어떻게 전역적인 구조적 특성을 보장할 수 있는지를 보여준다. 논문은 향후 알파벳 크기의 하한을 더 낮추는 연구와, 다른 유형의 제약(예: 부분 문자열 금지)에도 동일한 방법을 적용할 가능성을 제시한다.