모자이크 플로어플랜과 Baxter 순열의 최적 3n‑3 비트 표현

초록

이 논문은 n개의 블록으로 구성된 모자이크 플로어플랜을 3n‑3 비트로 인코딩하는 새로운 방법을 제시한다. 기존의 4n 비트 Quarter‑State Sequence와 비교해 비트 수를 크게 줄였으며, 정보 이론적 하한인 3n‑o(n) 비트와 일치함을 증명해 최적성을 확보한다. 또한 모자이크 플로어플랜과 Baxter 순열 사이의 일대일 대응을 이용해 Baxter 순열 및 Baxter 조합군 전체에 대한 최적 인코딩도 동시에 제공한다.

상세 분석

본 연구는 먼저 플로어플랜과 모자이크 플로어플랜의 정의를 명확히 구분한다. 일반 플로어플랜은 블록 간 상대적 위치 관계만을 고려하지만, 모자이크 플로어플랜은 “슬라이딩 등가성”을 도입해 동일한 제약 그래프(수평·수직 제약 그래프)를 갖는 경우를 동일시한다. 이 등가성은 VLSI 설계 단계에서 배선 길이와 면적을 최소화하는 레이아웃 최적화에 핵심적인 역할을 한다.

핵심 아이디어는 모든 모자이크 플로어플랜을 표준 형태(standard form) 로 변환하는 것이다. 표준 형태는 각 수평 선분 위의 수직 선분들을 위·아래 집합으로 구분하고, 위에 있는 선분들이 오른쪽에, 아래에 있는 선분들이 왼쪽에 배치되도록 강제한다. 이는 제약 그래프를 이용해 선형 시간에 구현 가능하며, 변환 후에도 등가성을 유지한다.

표준 형태를 기반으로 저자는 계단(staircase) 구조를 도입한다. 계단은 x‑축과 y‑축을 포함하는 경계와, 그 경계 위에 비증가적인 “계단선”으로 이루어진 다각형이며, 내부를 블록들로 채운다. 모자이크 플로어플랜은 계단의 특수 경우(계단 수 m=1)로 볼 수 있다.

계단 내부에서 삭제 가능한 사각형(deletable rectangle) 을 정의한다. 이는 상단과 우측 경계가 모두 전체 경계에 완전히 포함된 블록을 의미한다. 중요한 정리는 “삭제 가능한 사각형을 하나 제거하면 남은 구조도 여전히 계단 형태를 유지한다”(Lemma 1)이며, 이는 재귀적으로 모든 블록을 하나씩 제거하면서 순차적으로 인코딩할 수 있음을 보장한다.

인코딩 과정은 다음과 같다.

1. 현재 계단에서 삭제 가능한 사각형을 찾는다.
2. 해당 사각형을 제거하고, 남은 계단에 대해 동일한 과정을 반복한다.
3. 각 단계에서 사각형의 위치를 두 비트(위/아래, 좌/우)와 블록 번호를 나타내는 1비트로 기록한다.

n개의 블록에 대해 총 (3n‑3) 비트가 사용된다. 구체적으로, 첫 번째 블록은 기준점으로 고정하고, 이후 각 블록은 “위/아래”와 “좌/우” 두 개의 방향 비트와 “삭제 순서”를 나타내는 1비트(또는 암묵적 순서)로 표현한다. 이렇게 하면 정보 이론적 하한인 log₂ B(n)≈3n‑o(n)와 일치함을 증명한다.

또한 모자이크 플로어플랜과 Baxter 순열 사이의 알려진 일대일 대응(