CHIWEI 가중 및 비가중 히스토그램 적합도 검정 프로그램

초록

본 논문은 Fortran‑77 기반의 CHIWEI 코드를 소개한다. 가중치가 정규화된 히스토그램과 정규화되지 않은 히스토그램 모두에 대해 Pearson χ² 검정의 일반화를 적용하여 적합도 검정 통계량을 계산한다. 입력으로 기대 확률, 가중치 합계 및 가중치 제곱합을 받아 χ² 값과 자유도, p‑값을 출력한다.

상세 분석

CHIWEI 프로그램은 전통적인 Pearson χ² 검정을 가중 히스토그램에 확장한 수학적 공식에 기반한다. 일반적인 비가중 히스토그램에서는 각 구간 i의 관측 빈도 n_i와 기대 빈도 np_i0을 이용해 X² = Σ (n_i−np_i0)²/(np_i0) 를 계산한다. 가중 히스토그램에서는 각 사건에 가중치 w(x)=p(x)/g(x) 를 부여하고, 구간 i에 대한 가중치 합 W_i = Σ_k w_i(k) 와 가중치 제곱합 W_i² = Σ_k w_i(k)² 를 정의한다. 정규화된 가중치(Σ_i W_i = n)인 경우 추정량 ˆp_i = W_i/n 은 기대 확률 p_i와 무편향이다. 이때 검정 통계량은 X² = Σ_i (W_i−n p_i0)²/(n p_i0) 로 정의되며, H0가 참이면 자유도 m−1을 갖는 χ² 분포에 근사한다. 정규화되지 않은 가중치(즉, 가중치에 상수 factor가 곱해진 경우)에서는 자유도가 m−2가 된다. 이는 가중치 전체 규모가 검정에 추가적인 제약을 제공하기 때문이다.

프로그램 인터페이스는 CALL CHIWEI(P,W1,W2,N,NCHA,MODE,STAT,NDF,IFAIL) 형태이며, 여기서 P는 기대 확률 배열, W1은 각 구간의 가중치 합, W2는 가중치 제곱합, N은 전체 사건 수, NCHA는 구간 수, MODE는 정규화 여부(1: 정규화, 2: 비정규화)를 지정한다. 출력 STAT는 χ² 통계량, NDF는 자유도, IFAIL은 계산 성공 여부를 나타낸다.

논문은 두 가지 g(x) 함수를 사용한 실험적 검증을 제시한다. 첫 번째는 g(x)=p(x) 로 비가중 히스토그램과 동일한 상황이며, 두 번째는 g(x)∝2/(x−9)²+1+2/(x−15)²+1 형태로 가중치를 도입한다. 각각 5구간, 1000 사건을 시뮬레이션하여 정규화된 가중치와 비정규화된 가중치 경우에 대한 χ² 값과 p‑값을 보고한다. 결과는 기대값이 충분히 크면(각 구간 기대 빈도 >1, 5% 이하 구간이 5 미만) χ² 근사가 타당함을 확인한다.

또한, 프로그램은 외부 CERNLIB의 PROB(G100) 함수를 이용해 p‑값을 계산한다. 제한 사항으로는 기대 빈도가 너무 작을 경우(특히 20% 이상 구간이 기대 빈도 <5) 검정이 부적절하다는 점을 명시한다. 이는 전통적인 χ² 검정의 경험적 규칙과 일치한다.

이 코드는 Fortran‑77 환경에서 컴파일 가능하며, Unix/Linux 혹은 Windows에 Fortran 컴파일러만 있으면 실행 가능하다. 외부 라이브러리 의존성이 최소화돼 이식성이 높으며, 기존 Monte Carlo 시뮬레이션 파이프라인에 손쉽게 통합할 수 있다.