대규모 점프와 비정상 확산의 새로운 연결 고리

초록

본 논문은 물리적 시간과 운영 시간에서 발생하는 매우 큰 점프들을 결합한 서브오디네이션 모델을 제시한다. 레비-안정 과정과 그 역과정을 이용해 ‘소비된 대기시간’과 ‘잔여 대기시간’ 두 종류의 운영 시간을 정의하고, 이들에 의해 구동되는 확산 과정이 각각 서브디퓨전과 슈퍼디퓨전 특성을 보이며 두 단계의 멱법칙 이완을 설명한다.

상세 분석

논문은 먼저 연속시간 랜덤 워크(CTRW)의 전통적 틀을 확장한다. 물리적 시간 단계 (T_i)가 무한 평균을 갖는 레비-안정 분포((0<\alpha<1))를 따를 때, 누적 시간 (U_n=\sum_{i=0}^{n}T_i)와 그 역과정 (N_t=\max{n:U_n\le t})를 도입한다. 여기서 (Y_t=t-U_{N_t})는 ‘소비된 대기시간’, (Z_t=U_{N_t+1}-t)는 ‘잔여 대기시간’으로 정의된다. 두 변수는 긴 꼬리 분포를 가질 경우 서로 다른 극한 분포(p_Y(x))와(p_Z(x))를 갖으며, 전자는 베타형태로 0과 1 근처에 집중하고 후자는 1을 초과한 영역에서 무한히 큰 평균을 가진다. 이는 물리적 시간 (t)를 과소·과대 추정하는 두 연산자 (T^{-}S_t)와(T S_t)로 해석된다.

다음으로 레비-안정 과정 (S_\alpha(t))의 역과정(역 레비-안정 서브오디네이터)와 결합해 두 종류의 복합 서브오디네이터를 만든다. ‘언더슈팅’ 서브오디네이터 (Z_{U}^{\alpha,\gamma}(t)=X_\gamma^{U}