두 종류의 꼬인 다항식과 거듭 제곱 함수와의 구별

초록

본 논문은 차수가 2m인 이진 체에서 정의되는 두 개의 무한한 클래스의 2차 꼬인 다항식을 제시한다. 각 함수는 APN(거의 완전 비선형)임을 증명하고, 기존 연구의 특수 경우를 포함한다. 또한 이 함수들이 모든 거듭 제곱 함수와 EA(확장 선형) 동형이 아님을 보이며, CCZ 동형도 아닐 것이라는 추측을 제시한다.

상세 분석

논문은 먼저 꼬인 함수(crooked function)의 정의와 APN 함수와의 동치성을 상기한다. 2차 함수는 다항식 형태 f(x)=∑c_{ij}x^{2^i+2^j} 로 표현되며, 이러한 함수가 APN이면 자동으로 꼬인 특성을 가진다. 기존 연구에서는 꼬인 거듭 제곱 함수 x^{2^i+2^j} (gcd(n,i−j)=1)만이 알려져 있었고, 이외의 다항식 형태는 거의 발견되지 않았다. 저자들은 이 격차를 메우기 위해 두 개의 새로운 무한 클래스(정리 1, 정리 2)를 제시한다.

정리 1에서는 매개변수 m,i,j (i>j), n=2m, q=2^m, 그리고 특정 조건을 만족하는 상수 c,d 및 집합 K⊂{0,…,n−1}를 이용해 f(x)=c x^{q+1}+∑{i=1}^{m−1} r_i x^{2^i+q·2^i}+∑{k∈K}(d^{2^k} x^{2^{i+k}+2^{j+k}}+d^{q·2^k} x^{q(2^{i+k}+2^{j+k})}) 와 같은 형태의 다항식을 정의한다. 증명은 f(x)+f(x+a)+f(a)=0 식을 변형해 x와 a 사이의 관계를 x^{q}a+xa^{q}=0 로 귀결시키고, 이후 irreducible 다항식 P_k(x)=x^{2^k}−1 의 성질을 이용해 해가 최대 두 개임을 보인다. 특히 c∉F_{2^m}와 d가 특정 형태가 아니어야 하는 조건이 핵심이다. 이때 f는 APN이므로 꼬인 함수가 된다. 저자들은 j=0, K={0}, m,i가 모두 홀수인 경우가 기존 논문