연관 라게르 다항식 적분의 닫힌 형태 해법

초록

본 논문은 연관 라게르 다항식 (L_n^{(\alpha)}(x))와 (L_m^{(\beta)}(x))의 곱을 포함하는 적분을 일반적인 파라미터 (\alpha,\beta)와 지수 (k)에 대해 닫힌 형태로 전개한다. 급수 전개, 베타·감마 함수, 그리고 하이퍼지오메트릭 함수의 변환 공식을 이용해 (\int_{0}^{\infty} x^{k} e^{-x} L_n^{(\alpha)}(x)L_m^{(\beta)}(x),dx)를 ({}_3F_2) 형태의 유한합으로 표현하고, 특수 경우에 기존의 직교성 관계와 일치함을 보인다. 또한 결과를 수소 원자와 같은 양자역학 문제에 적용하여 물리적 의미를 논의한다.

상세 분석

연관 라게르 다항식 (L_n^{(\alpha)}(x))는 가중치 함수 (w_{\alpha}(x)=x^{\alpha}e^{-x}) 아래에서 직교성을 갖는 정규직교 다항식이며, 그 정의는
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