해시 경로 여행 판매원 문제와 NP 난이도

초록

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본 논문은 기존 여행 판매원 문제(TSP)에 해시 함수를 적용한 새로운 변형인 해시‑경로 TSP(HPTSP)를 정의하고, 부분 경로의 정보만으로는 전체 경로의 해시 값을 추정할 수 없으므로 이 문제는 다항시간 알고리즘이 존재하지 않을 것이라고 주장한다. 이를 통해 HPTSP가 NP에 속함을 보이고, Ladner 정리를 이용해 NP‑완전이 아닌 NP 문제(NPI)가 존재함을 시사한다.

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상세 분석

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논문은 먼저 TSP를 기반으로 “해시‑경로”라는 개념을 도입한다. 각 정점 순서와 그 사이의 가중치를 문자열로 연결한 뒤 SHA‑1과 같은 암호학적 해시 함수로 압축한다. 해시 결과는 경로 전체에 대한 고정 길이 값이며, 해시의 강력한 avalanche 효과 때문에 부분 문자열(즉, 부분 경로)의 변형이 전체 해시값을 예측하거나 부분 정보를 결합해 전체 값을 복원하는 것을 거의 불가능하게 만든다. 저자는 이를 “지역 정보는 전체 경로 값을 계산하기에 충분하지 않다”는 주장으로 연결시켜, 전통적인 동적 계획법이나 분할 정복 방식이 적용될 수 없으므로 HPTSP는 다항시간 알고리즘이 존재하지 않을 것이라고 결론짓는다.

하지만 논문은 이러한 주장에 대한 형식적 증명을 제공하지 않는다. 해시 함수의 충돌 저항성이나 일방향성은 확률적 보안 특성에 기반한 것이며, 복잡도 이론에서 요구되는 결정적 하한을 증명하기엔 부족하다. 특히, “부분 경로 정보가 충분하지 않다”는 명제는 정량적 증명 없이 직관적 설명에 머물러 있다. 또한, HPTSP를 NP에 속한다고 보이기 위해서는 “해시값이 주어졌을 때, 제시된 경로가 해시값과 일치하는지 검증하는 과정이 다항시간에 가능함”을 보여야 하는데, 이는 해시 함수 자체가 다항시간에 계산 가능하므로 검증은 가능하지만, 최적 경로를 찾는 문제와의 관계를 명확히 정의하지 않는다.

Ladner 정리를 이용해 NPI가 존재한다는 결론 역시 논문의 핵심 가정이 틀렸다면 무의미해진다. Ladner 정리는 P≠NP 가정 하에 중간 난이도의 문제 존재를 보장하지만, 논문은 P≠NP 를 증명하려는 것이 아니라 HPTSP가 NP‑complete가 아니라는 점만을 주장한다. 실제로 HPTSP가 NP‑complete인지 여부는 증명되지 않았으며, NP‑hard임을 보이기 위한 다항시간 환원도 제시되지 않았다.

결론적으로, 논문은 흥미로운 아이디어(해시를 이용해 경로 정보를 은폐)와 암호학적 직관을 제시하지만, 복잡도 이론적 엄밀성, 정형화된 정의, 그리고 증명 구조가 크게 부족하다. 현재 형태로는 HPTSP가 실제로 NP‑complete가 아니며, “NP‑완전이 아닌 NP 문제가 존재한다”는 주장도 설득력을 갖지 못한다.

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