스핀포시블 퍼즐의 수학적 구조와 최적 해법 길이 분석

본 논문은 온라인 퍼즐 ‘Spinpossible’를 수학적으로 정형화하고, 그 해법의 구조와 복잡도를 군론적 관점에서 탐구한다. 먼저 m×n 보드의 타일을 1부터 N=mn까지 번호 매기고, 각 타일은 앞면(양) 혹은 뒷면(음) 두 가지 방향을 가질 수 있다. 이러한 보드 상태는 순열 α∈S_N 과 뒤집힘 벡터 u∈V_N 로 동시에 표현될 수 있다. 저자들은 이를 바탕으로 Spin m×n 라는 군을 정의한다. 이 군은 Z₂≀S_N 형태의 웨이트 프로덕트이며, 원소 (α, u) 의 곱셈은 (αβ, uβ+v) 로 정의된다. 여기서 uβ는 u 를 순열 β 로 재배열한 벡터이다. ‘스핀’은 직사각형 R을 180도 회전시키는 동작으로, 이는 (α_R, 1_R) 형태의 군 원소에 해당한다. α_R는 R 내부의 위치를 대각선 대칭으로 교환하고, 1_R는 R 안의 모든 타일을 뒤집는다. 스핀은 R 의 좌상단과 우하단 좌표