ACL2로 검증하는 시어핀스키와 라이셀 수

초록

시어핀스키·라이셀 수 k와 그 커버 C를 입력으로, ACL2 매크로를 이용해 k·2ⁿ±1 형태의 모든 수가 C에 포함된 소인수로 나누어짐을 자동으로 증명한다. 논문은 이 절차를 수학적으로 정리하고, 기존에 알려진 수백 개의 k에 대해 전자동 증명을 성공시킨 사례를 제시한다.

상세 분석

본 논문은 시어핀스키 수와 라이셀 수라는 두 클래스를 형식화하고, 이들에 대한 “커버” 개념을 ACL2(자동 정리 증명기) 안에서 체계적으로 검증하는 방법을 제시한다. 핵심 아이디어는 각 커버 원소 d에 대해 두 개의 정수 b₍d₎와 c₍d₎를 찾는 것이다. b₍d₎는 2의 차수가 d를 나누는 최소 양의 지수이며, c₍d₎는 k·2^{c₍d₎}+1이 d로 나누어지는 최소 지수이다. 이렇게 정의된 (b₍d₎,c₍d₎) 쌍을 이용하면 귀납법을 통해 모든 n에 대해 k·2ⁿ+1 (또는 k·2ⁿ−1)이 어떤 d∈C에 의해 나누어짐을 보일 수 있다. 구체적으로는 n을 b₍d₎·i + c₍d₎ 형태로 표현하고, i에 대한 귀납 단계에서
k·2^{b₍d₎(i+1)+c₍d₎}+1 =