엔트로피 영향 추측: 무작위 함수의 증명

이 논문은 Friedgut와 Kalai에 의해 제시된 엔트로피-영향(FEI) 추측을 대부분의 불리언 함수에 대해 증명한다. FEI 추측은 불리언 함수의 엔트로피가 그 함수의 영향력의 상수배 이하라는 것을 주장하며, 이 논문에서는 무작위 함수가 높은 확률로 C = 2 + δ (δ > 0)인 상수를 가진 FEI 추측을 만족한다는 것을 증명한다. FEI 추측은 이미 작은 크기의 함수 집합에 대해 증명되었지만, 이 논문에서는 무작위 함수를 통해 더 큰 함수 집합에 대한 증명을 제공한다. 특히, O'Donnell, Wright 및 Zhou는 대칭 함수와 d-부분 대칭 함수에 대해 FEI 추측을 증명했으며, Klivans 등은 다항식 크기의 DNF 공식에 대해 Mansour의 추측을 증명하여 FEI 추측도 참이라는 것을 보여주었다. 논문에서는 Chebyshev 부등식을 사용한 간단한 증명 방법을 제시한다. 무작위 불리언 함수가 높은 확률로 C = 2 + δ (δ > 0)인 상수를 가진 FEI 추측을 만족한다는 것을 보여준다. 이를 위해 엔트로피와 영향력의 기대값과 분산을 계산하고, 이를 통해 무작위 함수가 FEI 추측을 만족할 확률이 높다는 것을 증명한다. 논문은 불리언 함수의 푸리에 전개를 사용하여 엔트로피와 영향력을 정의하며, 이들 값을 계산하는 방법을 설명한다. 무작위 함수는 각 점에서 1 또는 -1 값을 독립적으로 선택하고, 이를 통해 모든 함수가 동일한 확률 (1/2)로 발생한다는 것을 보여준다.