대칭 부울 함수의 대수적 면역성 향상과 새로운 개수 하한

초록

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본 논문은 변수 개수가 짝수인 대칭 부울 함수에 대해, 정수 k와 k의 이진 접미사 d( d ≼ k )를 주면 AI≥d를 만족하는 함수를 체계적으로 구성한다. d=k인 경우에는 최대 AI를 갖는 함수를 2^{⌊log₂k⌋+2}개 만들 수 있음을 보이며, 일반적인 d에 대해서는 2^{⌊log₂d⌋+2(k−d+1)}개의 함수를 최소 개수로 제공한다. 이는 기존 결과보다 현저히 많은 수이며, 새로운 하한을 제시한다.

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상세 분석

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논문은 먼저 대칭 부울 함수의 특성을 정리하고, 값벡터(v_f)와 ANF 계수벡터(λ_f) 사이의 선형 변환 관계를 이용한다. 핵심은 “d는 k의 이진 접미사”라는 가정 하에, k의 이진 표현을 기준으로 정수들을 C₀, C₁, …, C_{m+1}이라는 집합으로 분할하는 방법이다. 각 C_p는 k와의 차이가 2^p( mod 2^{p+1})인 정수를 모아 놓은 것으로, 이는 Lucas 정리를 통해 조합계수의 짝수·홀수성을 판단하는 데 쓰인다.

정리 3.3은 충분조건을 제시한다. 만약 0≤i≤d−1와 n−d+1≤j≤n( n=2k) 사이에서 i와 j가 같은 C_p에 속하고, i와 j의 값벡터가 서로 보수( XOR 1) 관계라면 AI≥d가 된다. 증명은 가정된 차수 이하의 소멸자를 가정하고, 해당 소멸자의 ANF 계수를 c_β라 두어 선형 방정식 시스템을 만든다. Lemma 3.1·3.2를 이용해 이 시스템이 오직 영해만을 갖는다는 것을 보이며, 결국 소멸자가 존재하지 않음을 증명한다.

구성 3.4에서는 위 정리를 활용해 실제 함수를 만든다. 먼저 ⌊log₂d⌋+1개의 자유 비트 m₀,…,m_{⌊log₂d⌋}를 임의로 선택하고, 값벡터를
v_f(i)=m_t (i∈C_t∩