고차 범주 동형사상의 새로운 구성법

초록

본 논문은 본질적으로 대수적으로 정의된 고차 범주에 대해, 약한 가역 고차 셀까지 허용하는 동형사상을 구성한다. 이를 위해 엄격 동형사상의 범주에 약한 인자화 체계와 코피브런트 교체 코모넌드를 적용하여, 동형사상의 합성과 단위가 엄격하게 결합되는 코‑클레슬리 범주를 얻는다. 삼중범주와 Batanin의 약한 ω‑범주에 대한 두 사례를 통해 이 방법의 유용성을 입증한다.

상세 분석

논문은 “고차 범주”라는 개념을 본질적으로 대수적(essentially‑algebraic)으로 정의된 이론에 국한하고, 이러한 이론이 제공하는 ‘엄격 동형사상(strict homomorphism)’을 출발점으로 삼는다. 고차 범주의 경우, 엄격 동형사상은 고차 셀을 전혀 허용하지 않기 때문에 실제적인 활용도가 낮다. 저자는 이를 보완하기 위해, 엄격 동형사상의 범주 HCats 에 대해 약한 인자화 체계(weak factorisation system, w.f.s.)를 설정하고, 그 w.f.s.의 코피브런트 교체(combinatorial cofibrant replacement) 과정을 통해 코모넌드 Q 를 만든다. Q‑알게브라(Q‑algebra)인 QA → B 를 ‘동형사상’으로 정의함으로써, 고차 셀을 가역적인 고차 셀로만 보존하도록 허용한다.

코모넌드 Q 는 코‑클레슬리 범주(co‑Kleisli category) 형태로, 동형사상의 합성은 QA → B, QB → C 와 같은 형태를 Q의 코단위와 코곱연산을 이용해 정의한다. 이 합성은 코모넌드의 법칙(동등성, 결합성, 단위성) 때문에 엄격하게 결합되고, 단위는 코단위 ε 에 의해 제공된다.

핵심 기술은 ‘코피브런트하게 생성된 w.f.s.’에 대해 ‘보편적인 대수적 실현(algebraic realisation)’을 구축할 수 있다는 점이다. 저자는 Garner의 이전 연구