이차원 타입 이론과 이중 범주 의미론

초록

본 논문은 비외연적 마틴‑로우 타입 이론의 변형인 이차원 타입 이론을 제안하고, 이를 2‑범주에 값을 두는 완전하고 소리나는 의미론으로 모델링한다. 유형, 항, 동형 사상의 2‑차원 구조를 명시적으로 다루며, 전통적 집합론적 모델을 넘어 고차원 동형성을 포착한다.

상세 분석

이차원 타입 이론은 전통적인 마틴‑로우 타입 이론의 규칙을 2‑차원 수준으로 끌어올린다. 기본적인 형식 규칙은 그대로 유지하되, 동형 사상(identifications) 사이에 또 다른 동형 사상, 즉 2‑셀을 허용한다. 이를 위해 논문은 ‘동형 사상의 동형 사상’이라는 새로운 층을 도입하고, 이 층에서의 합성법칙과 교환법칙을 명시적으로 정의한다. 비외연성(non‑extensionality) 가정은 동형 사상의 판단을 전적으로 증명 구조에 의존하게 하며, 전통적 ‘동형 사상은 동일함을 의미한다’는 원리를 포기한다. 이러한 설계는 고차원 동형성 이론, 특히 호몰로지형 이론과의 연결 고리를 제공한다. 의미론적으로는 2‑범주(또는 bicategory) 안에서 타입을 객체, 항을 1‑셀, 동형 사상을 2‑셀로 해석한다. 논문은 이 해석이 sound(모델이 타입 이론의 모든 추론을 보존)와 complete(모델의 동형 사상은 모두 타입 이론에서 증명 가능)임을 정리와 정리를 통해 증명한다. 특히, 완전성 증명에서는 ‘표준 모델’이라 불리는 자유 2‑범주 구축을 이용해, 임의의 이차원 타입 이론의 증명을 해당 2‑범주의 셀 복합으로 변환한다. 또한, 이론은 전통적 집합론적 의미론이 포착하지 못하는 ‘동형 사상의 동형 사상’이라는 고차원 동등성 정보를 보존한다는 점에서 의미론적 풍부함을 강조한다. 마지막으로, 저자는 이 모델이 고차원 타입 이론, 특히 호모토피 타입 이론(HoTT)과의 관계를 탐구할 수 있는 기반을 제공한다고 주장한다.