아주마 불균등성의 서브가우시안 변형

본 논문은 마르티게일 차분열에 대한 전통적인 아즈마 불균등성(Azuma’s inequality)의 제한을 완화하고, 차분항이 서브가우시안 꼬리를 가질 때도 적용 가능한 새로운 불균등성을 제시한다. **1. 배경 및 동기** 아즈마 불균등성은 마르티게일 차분열 \(Z_{1},Z_{2},\dots ,Z_{T}\)에 대해 각 차분항이 절대값이 일정 상수 \(b\) 이하라는 강한 가정 하에, 전체 합의 편차를 \(\mathcal{O}\bigl(b\sqrt{\log(1/\delta)/T}\bigr)\) 수준으로 제한한다. 그러나 실제 알고리즘 분석에서는 차분항이 완전히 유계가 아니고, 대신 큰 편차가 발생할 확률이 지수적으로 작아지는 경우가 많다. 이러한 “거의 유계” 상황을 정량화하기 위해 서브가우시안 꼬리(조건부 확률이 \(\exp(-c a^{2})\) 로 감소)라는 개념을 도입한다. **2. 주요 결과** - **Theorem 2 (서브가우시안 마르티게일 불균등성)** 차분열이 조건부 서브가우시안 꼬리를 만족한다면, 모든 \(\delta\in(0,1)\)에 대해 \