자동수열의 판정과 열거: 결정가능성 및 k‑정규성의 새로운 통합

초록

이 논문은 k‑자동수열에 대해 “길이 n인 비경계 인자 존재 여부”와 같은 다양한 속성을 논리식으로 표현함으로써 결정가능하게 만들고, 그 결과를 자동적으로 열거할 수 있음을 보인다. 이를 통해 재발함수, 등장함수, 반복지수 등 여러 파생 수열이 k‑자동 또는 k‑정규임을 체계적으로 증명한다. 또한 Pisot 진법 체계로 확장된 결과도 제시한다.

상세 분석

본 연구는 k‑자동수열의 속성을 1차 구조 ⟨ℕ,+,V_k⟩(여기서 V_k(n)은 n을 k로 나눌 수 있는 최대 거듭제곱) 안의 논리식으로 기술할 수 있음을 핵심 전제로 삼는다. 이 논리식은 존재(∃)와 전칭(∀) 양량자를 자동화된 비결정적·결정적 유한 오토마타(NFA/DFA) 연산으로 변환할 수 있다. 구체적으로, “x가 길이 n인 비경계 인자를 포함한다”는 명제는 ∃j≥0 ∀1≤ℓ≤n/2 ∃i<ℓ (a_{j+i}≠a_{j+n−ℓ+i}) 로 서술되며, 이를 위해 (j,ℓ,n)를 입력으로 하는 NFA를 구성하고, i를 비트 단위로 추정·검증하는 과정을 자동화한다. 이후 보완을 통해 DFA로 변환하고, 최종적으로 “비경계 인자 존재 여부”를 판단하는 자동수열 b(n)을 얻는다. 이와 같은 절차는 정규 언어의 비어있음·유한성·무한성 검사와 동일하게 수행 가능하므로, 결정가능성을 보장한다.

또한, 동일한 프레임워크를 이용해 임계 지수(critical exponent), 무한히 큰 거듭제곱 존재 여부, 재발성·균등 재발성, 두 자동수열 간 인자 집합 동등성 등 다양한 속성을 판정한다. 특히, 임계 지수의 경우 (n,j)쌍을 구성해 x