프랙탈 문자열을 활용한 인도 라가 음악 작곡

초록

본 논문은 로지스틱 맵을 이용해 12음계 중 선택된 음들을 이산 시퀀스로 변환하고, 두 개의 라가(바이라비·부팔리) 문자열 사이의 상관계수를 최대화하는 새로운 문자열을 무작위 탐색으로 생성한다. 생성된 문자열의 프랙탈 차원을 계산해 원본 문자열과 복잡도가 유사함을 확인한다.

상세 분석

논문은 먼저 음악을 12개의 기본 음(사·레·가·마·파·다·니 등)과 그 배음으로 모델링하고, 각 음을 로지스틱 맵의 구간(예: 01/9, 1/92/9 등)과 매핑한다. 로지스틱 맵 x_{n+1}=r·x_n·(1−x_n)에서 r값을 적절히 선택하면 혼돈적인 0~1 사이의 실수열이 생성되며, 이를 사전 정의된 구간에 따라 문자(S, R, G 등)로 변환해 ‘음악 문자열’로 만든다. 바이라비는 9개의 구간(7개의 실제 음 + 옥타브 사 + 정지)으로, 부팔리는 7개의 구간(5개의 음 + 옥타브 사 + 정지)으로 정의된다.

두 라가 각각 1000길이의 문자열을 두 개씩(총 4개) 추출하고, 같은 라가 내에서 동일한 진폭(음) 레벨 수를 가진 두 문자열을 선택한다. 목표는 이 두 문자열과 동시에 가장 높은 상관계수(Correlation Coefficient)를 갖는 새로운 1000길이 문자열을 찾는 것이다. 상관계수는 두 시퀀스의 내적을 각각의 에너지(제곱합)로 정규화한 값으로 정의된다.

탐색 알고리즘은 15,000~200,000개의 무작위 후보 문자열을 생성하고, 각 후보와 두 원본 문자열 사이의 상관계수를 계산한다. 후보의 ‘적합도’는 두 상관계수의 합이며, 이를 최대화하는 후보가 최종 ‘진화된’ 문자열이 된다. 탐색은 비적응적이며, 후보 생성 과정에서만 무작위성을 이용한다.

생성된 문자열을 다시 로지스틱 맵 구간에 매핑해 음표 시퀀스로 복원하고, 각 시퀀스(원본 두 개와 진화된 하나)의 프랙탈 차원을 박스-카운팅 방법으로 추정한다. 실험 결과, 진화된 문자열의 프랙탈 차원은 두 원본 문자열의 차원 사이에 위치하며, 복잡도 측면에서 유사함을 보인다(예: 바이라비 1.7316, 바이라비 2 1.7191, 합성 1.7951).

논문의 주요 기여는 (1) 로지스틱 맵을 이용한 음악 문자열 생성 방법, (2) 상관계수를 기반으로 한 비적응적 최적 문자열 탐색, (3) 프랙탈 차원을 통한 복잡도 비교이다. 그러나 알고리즘은 무작위 탐색에 의존해 계산 비용이 크고, 상관계수만으로 음악적 ‘유사성’을 충분히 평가할 수 있는지에 대한 논의가 부족하다. 또한, 생성된 문자열이 실제 음악적으로 의미 있는지, 청취 실험을 통한 검증이 없다는 점이 한계로 지적된다.