한계 평균 게임에서 내시 균형의 복잡성

초록

본 논문은 동시 진행 게임의 한계 평균(pay‑off) 목표에 대해 내시 균형(Nash equilibrium)의 존재 여부와 그 복잡도를 조사한다. 무작위화 전략을 허용하면 존재 문제는 결정 불가능(undecidable)함을 보이며, 순수 전략(pure strategy)에서는 존재 여부를 결정할 수 있음을 증명한다. 또한, 전략을 정지(Stationary) 혹은 유한 메모리로 제한했을 때의 제약 존재 문제(constrained existence problem)의 복잡도도 정확히 규명한다.

상세 분석

논문은 먼저 동시 진행 게임(concurrent game)의 형식적 정의를 제시한다. 플레이어 집합 Π, 상태 집합 S, 각 플레이어 i의 행동 집합 Γ_i(s), 전이 함수 δ, 그리고 각 플레이어별 보상 함수 r_i가 주어진다. 보상은 유리수이며, 한계 평균(리밋‑어버레지) 목표 φ_i(π)=lim inf_{n→∞} (1/n)∑_{j=0}^{n-1} r_i(s_j) 로 정의된다. 특히, 보상이 비영(非零)인 경우가 터미널 상태에만 존재하는 ‘터미널‑리워드 게임’이라는 제한된 서브클래스를 고려한다.

전략은 히스토리‑의존 확률 분포로 정의되며, 순수 전략은 각 히스토리마다 하나의 행동만을 선택한다. 메모리 구조 M=(M,δ_M,m_0)를 도입해 유한 메모리 전략, 정지 전략(메모리 하나), 그리고 위치 전략(정지+순수) 등을 구분한다. 전략 프로필 σ에 의해 유도되는 마코프 체인 G_σ를 통해 기대 보상 p_i=E_σ