연속 피드백 최적 제어를 위한 제2변분 기반 제어 구속 해법

본 연구는 제어 변수가 폐구간에 제한되는 최적 제어 문제를 해결하기 위한 새로운 연속 제2변분 알고리즘을 제안한다. 먼저 문제 설정을 명확히 정의한다. 상태 방정식은 \(\dot x = f(x,u,p;t)\) 로 주어지고, 초기 조건 \(\phi(x(t_0),x_0,p_0)=0\) 과 최종 제약 \(\psi(x(t_f),p_f)=0\) 가 존재한다. 제어 구속은 박스 형태 \(u_l \le u \le u_u\) 로 가정한다. 목적함수는 메이어 형태 \(J(x(t_f),p_f)\) 로 주어지며, 최소화 대상이다. 알고리즘의 핵심은 라그랑지안을 \(\mathcal L\) 로 정의하고, 이를 명목 궤적 \((\bar x,\bar u,\bar p)\) 주변에서 2차 전개한다. 전개 결과는 제어 업데이트 식 \(\delta u = \alpha + \beta\,\delta x + \gamma\,\delta p + \omega\,\delta\nu\) 로 정리된다. 여기서 \(\alpha = -H_{uu}^{-1}H_u\), \(\beta = -H_{uu}^{-1}(H_{xu}+R^T f_u)\) 등은 모두 해밀토니안 \(H\) 와 비용함수의 2차 미분에 의해 계산된다. 후방 단계에서는 비용함수와 제약조건에 대한 민감도 행렬 \(R, K, Q, T, V, W\) 를 Riccati‑형 미분방정식으로 적분한다. 구체적으로는 \