선형 추세를 가진 확률 변수 열에서 기록 사건의 상관관계

초록

본 논문은 독립적이지만 동일분포가 아닌 확률 변수들의 열에 선형 드리프트가 가해졌을 때, 기록 사건(전 단계보다 큰 값)이 서로 독립인지, 그리고 어떤 분포군에서는 양의 상관, 어떤 경우에는 음의 상관이 나타나는지를 분석한다. 기록 사건의 결합 확률을 정규화한 지표 lₙ,ₙ₋₁(c) 를 도입하고, 작은 드리프트 전개와 대규모 N 극한을 통해 Gumbel, Weibull, Fréchet 세 극값 분포 클래스별 상관성의 부호와 크기를 예측한다. 결과적으로 Gumbel 분포에서는 독립성이 유지되지만, Weibull(유한 지원)에서는 일반적으로 음의 상관, Fréchet(힘꼴 꼬리)에서는 양의 상관이 나타난다.

상세 분석

논문은 먼저 기록 사건이란 정의를 상기하고, i.i.d. 경우에는 기록 사건이 서로 독립이라는 고전적 결과를 재확인한다. 이후 선형 드리프트 모델(LDM)을 도입한다. 각 변수 Yₗ는 동일한 기본 분포 f(x)를 갖는 독립적인 Xₗ에 시간에 비례하는 상수 c·ℓ을 더한 형태 Yₗ = Xₗ + cℓ 로 정의된다. 이 모델에서 기록 사건의 확률 pₙ과 연속된 두 기록 사건이 동시에 일어날 확률 pₙ,ₙ₋₁을 적분식으로 전개하고, 이를 정규화한 lₙ,ₙ₋₁(c)=pₙ,ₙ₋₁/(pₙpₙ₋₁) 를 핵심 지표로 삼는다.

식 (6)·(8)에서 얻은 일반식은 f와 c에 따라 복잡하게 변한다. 저자는 두 극단을 검토한다. c=0(즉 i.i.d.)에서는 lₙ,ₙ₋₁=1이 되며, 이는 기록 사건이 독립임을 의미한다. 반면 Gumbel 분포 f(x)=e^{-(e^{-x}+x)} 에 대해서는 F(x+c)=F(x)e^{-c} 라는 특성을 이용해 pₙ과 pₙ,ₙ₋₁이 모두 α^{ℓ} 형태(α=e^{-c})로 인수분해되므로 lₙ,ₙ₋₁=1이 유지된다. 따라서 Gumbel 클래스는 선형 드리프트가 있더라도 기록 사건의 독립성을 보존한다.

다음으로 저자는 작은 드리프트(c≪σ) 전개를 수행한다. 기록률 pₙ(c)≈1/n + c·n(n−1)/2·I(n−2) 로 전개하고, 결합 확률 pₙ,ₙ₋₁(c) 역시 1/