비아벨리안 군에서의 거의 완전 비선형 함수 연구

초록

본 논문은 유한군 K에서 N으로의 함수에 대해, K와 N이 비아벨리안일 수 있는 경우를 포함한 APN(Almost Perfect Nonlinear) 및 최대 비선형성 개념을 확장 정의하고, 군 문자와 그룹 대수 이론을 이용해 새로운 특성화와 존재·비존재 결과를 제시한다.

상세 분석

APN 함수는 차분 균일성(differential uniformity)이 2인 함수로, 블록 암호의 S‑box 설계에서 가장 강력한 비선형성을 제공한다는 점에서 오랫동안 연구되어 왔다. 전통적인 정의는 입력·출력 모두가 2진 벡터 공간인 (\mathbb{F}_2^n) 위의 부울 함수에 한정되었으며, 휘스톤 변환(Walsh transform)이나 차분 분포표를 통해 분석된다. 그러나 현대 암호학에서는 비아벨리안 구조를 갖는 대칭키 암호, 다중 그룹 기반 프로토콜 등에서 비선형 매핑이 필요해졌고, 이에 따라 APN 개념을 일반 군으로 확장할 필요성이 대두되었다.

논문은 먼저 기존 정의를 군 이론적 관점에서 재해석한다. 입력군 (K)와 출력군 (N)을 임의의 유한군으로 두고, 함수 (F:K\to N)에 대해 차분 연산 (\Delta_aF(x)=F(xa)-F(x))를 정의한다. 여기서 곱은 군 연산이며, 비아벨리안인 경우에도 좌·우 차분이 구분될 수 있음을 강조한다. APN 함수는 모든 비단위 차분 (a\neq e_K)에 대해 (\Delta_aF)가 가능한 최소값인 2를 초과하지 않는 경우로 정의한다. 이는 차분 다중도 (\delta_F(a,b)=|{x\in K\mid \Delta_aF(x)=b}|)가 (\le2)임을 의미한다.

다음으로, 비아벨리안 군에 대한 휘스톤 변환의 일반화가 제시된다. 군 문자 (\chi\in\widehat{N})와 (\psi\in\widehat{K})를 이용해 복소수값 함수 (\mathcal{W}F(\psi,\chi)=\sum{x\in K}\psi(x)\overline{\chi(F(x))})를 정의하고, 이 값들의 절댓값이 특정 상수 이하인 경우를 최대 비선형성(maximum nonlinearity)이라고 부른다. 특히, (|\mathcal{W}_F(\psi,\chi)|)가 (\sqrt{|K|,|N|})에 근접할수록 비선형성이 강함을 보이며, 이는 기존 부울 경우의 휘스톤 스펙트럼과 일치한다.

주요 정리에서는 위 두 정의가 동치임을 증명한다. 즉, 차분 균일성이 2인 함수는 휘스톤 변환의 절댓값이 (\sqrt{|K|,|N|}) 이하이며, 반대로 휘스톤 변환이 해당 상한을 만족하면 차분 다중도가 2 이하임을 보인다. 이때 증명에 핵심적인 도구는 그룹 대수 (\mathbb{C}