반응‑확산 시스템의 폐루프 제어와 존재성 증명

초록

본 논문은 Allen‑Cahn 모델을 기반으로 한 반응‑확산 방정식에 내부에 배치된 유한 개의 제어 장치와 측정점을 이용한 폐루프 제어 시스템을 제안한다. 제어 입력은 다중값 미분 포함식으로 기술되며, 일반화된 Kakutani 고정점 정리를 이용해 해의 존재성을 증명한다.

상세 분석

본 연구는 열린 영역 Ω⊂ℝᵈ( d≥1 )에 정의된 반응‑확산 PDE u_t−Δu=f(u)+g(x,t;κ(t))와, m개의 제어 변수 κ_j(t) (j=1,…,m)가 만족하는 다중값 미분 포함식 β_j ·κ̇_j+κ_j∈W_j(t,u(x*1,t),…,u(x*n,t))를 동시에 고려한다. 여기서 x*k(k=1,…,n)는 내부 측정점, g는 내부 제어 장치들의 영향으로 선형 결합 형태 g=∑{j=1}^m g_j(x,t)κ_j(t) 로 가정한다. 제어 법칙은 각 κ_j의 전력 공급 v_j(t)=∑{k=1}^n α{jk}(t) w_k(u(x*_k,t)−u*_k) 로 정의되며, w_k는 ±1 로 스위칭되는 비연속 함수이며, 상위반연속성을 확보하기 위해 다중값 집합 ˜w_k를 도입한다.

주요 수학적 가정은 다음과 같다. (I) Ω는 C¹ 경계와 함께 유계 개방 집합, (III) 비선형 항 f는 선형 성장 및 국소 Lipschitz 연속, (IV) W_j는 비공집합, 폐집합, 볼록, 상위반연속이며 유계, (VI) g는 L²(0,T;L^∞(Ω))에 속하고 κ∈K=C(