평면 기하학의 두 기이한 투영 구성

초록

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두 개의 평행선과 원점을 지나는 직선을 이용해, 주어진 선 L 위에 존재하는 유일한 점 P를 정의하고, 그 좌표를 해석적으로 구한다. 이후 이 구조를 일반화한 네 번째 직선과 원점의 배치를 도입해 동일한 결과를 보이며, 마지막으로 ε만큼 평행이동한 두 점의 사변형이 만드는 교점이 선택한 점에 무관함을 증명한다.

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상세 분석

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본 논문은 ‘그레시안 기하학’이라 명명한 평면 유클리드 공간 ℝ²에서 네 가지 명제와 두 개의 보조 정리를 제시한다.
첫 번째 명제는 두 평행 직선 G_S, G_T와 이들을 각각 교차하는 직선 L(원점 통과 금지)으로부터 시작한다. 원점 O와 교점 S, T를 연결한 선 Z_S, Z_T를 만든 뒤, (A) G_S, G_T가 x‑축에 평행하지 않을 때는 L 위에 존재하는 점 P_hor가 x‑좌표 x_hor에 대해 (x_hor−a_S, y_hor)∈Z_T와 (x_hor−a_T, y_hor)∈Z_S를 만족하도록 정의된다. (B) G_S, G_T가 y‑축에 평행하지 않을 때는 유사하게 P_ver를 정의한다. 저자는 이 점이 존재하고 유일함을 네 개의 선형 방정식(1)–(4) 혹은 (f1)–(f4)를 풀어 얻는 매개변수 τ, α, β(또는 eτ, eα, eβ)로부터 증명한다. 핵심은 w₁·y_T−w₂·x_T = w₁·y_S−w₂·x_S 라는 관계와 y_S·x_T−x_S·y_T + a_S·y_T = y_S·a_T 를 이용해 두 식이 동일한 τ를 만든다는 점이다. 이는 사실 L과 두 평행선 사이의 affine 관계를 이용한 간단한 해석 기하학적 사실에 불과하다.

두 번째 명제는 첫 번째 명제의 상황을 ‘Axis’라는 추가 직선과 원점 O가 Axis 위에 놓인 일반적인 배치로 확장한다. 여기서도 동일한 유일한 교점 P가 존재함을 보이며, 실제로 Axis를 x‑축 혹은 y‑축으로 선택하면 제1명제의 P_hor, P_ver와 일치한다는 등 두 명제는 서로 동치임을 보인다.

세 번째 명제는 평행선 G와 P, 그리고 원점 O를 기준으로 ε만큼 좌우(또는 상하)로 이동한 두 점 S, T를 정의한다. S, T와 그 대칭점 −S, −T가 이루는 평행사변형의 대각선 중 T와 −S를 연결한 직선이 x‑축(또는 y‑축)과 만나는 점 ν가 ε와 두 직선의 절편만으로 결정된다는 것을 증명한다. 구체적인 식은

• 수직인 경우 ν = p·ε / r,
• 비수직인 경우 ν = b_P·ε / b_G,
  와 같이 절편 b_G, b_P(또는 x‑절편 r, p)만을 사용한다. 이는 원점에 대한 동심원(또는 동심직선) 변환이 평행이동에 대해 보존되는 사실을 재진술한 것이다.

네 번째 명제는 제3명제를 더욱 일반화하여 ‘Axis’라는 임의의 직선을 도입하고, 원점 O가 Axis 위에 있을 때 ε거리만큼 양쪽에 점 S, T를 잡아 만든 평행사변형의 대각선이 Axis와 만나는 점 ν가 선택한 (b_x, b_y)와 무관함을 다시 한 번 확인한다.

전체적으로 논문은 선형 방정식 풀이와 좌표 변환을 이용해 ‘특정한 투영점’이 존재하고 그 좌표가 간단한 비율식으로 표현된다는 사실을 여러 경우에 대해 전개한다. 그러나 이러한 결과는 이미 고전적인 affine 기하학이나 프로젝트 기하학에서 알려진 사실이며, 새로운 기하학적 통찰이라기보다 계산적 전시일 뿐이다. 또한 원고는 오탈자, 부정확한 기호 사용, 증명 과정의 생략 등으로 가독성이 크게 떨어진다.

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