두 개의 폐쇄 연산자를 통한 쿠라토프스키 정리의 무한 확장

초록

본 논문은 전통적인 쿠라토프스키 정리에서 사용되는 하나의 폐쇄 연산자를 두 개로 확장한다. 두 폐쇄 연산자 p와 q가 교환(commute)하더라도, 보완 연산 c와 함께 적용했을 때 생성될 수 있는 집합들의 수는 유한하지 않으며, 실제로 무한히 많은 서로 다른 집합이 만들어진다. 이를 뒷받침하기 위해 새로운 항등식들의 무한 계열을 제시하고, 정수 집합에 정의된 구체적인 폐쇄 연산자 쌍을 구성하여 모노이드가 무한함을 증명한다. 또한, 이러한 현상을 형식화한 일차 이론 T₂com의 정의와 몇 가지 열린 질문을 제시한다.

상세 분석

논문은 먼저 전통적인 쿠라토프스키 정리의 핵심인 폐쇄 연산자 k와 보완 연산자 c가 생성하는 모노이드가 최대 14개의 원소만을 가질 수 있음을 재정리한다. 여기서 폐쇄 연산자는 확장성, 포함 보존성, 멱등성을 만족하는 함수로 정의된다. 이후 두 개의 폐쇄 연산자 p와 q를 도입하고, 이들이 교환(pq = qp)한다는 가정 하에 새로운 관계식 pcq cpcq ≡ pcq 를 증명한다(정리 1). 이 관계식은 단일 폐쇄 연산자 경우와 유사하게 보이지만, p와 q 사이에 추가적인 제약이 없으면 모노이드가 유한하다는 보장은 사라진다. 실제로, 자연수 집합 ℕ 위에 정의된 p와 q가 각각 홀수와 짝수의 최댓값에 1을 더하는 방식으로 작동하면 (pq)ⁿ({0}) = {0,…,2ⁿ} 와 같이 무한히 많은 결과 집합이 생성된다(예제 3).

교환성을 추가로 가정하면 몇몇 새로운 항등식이 나타난다. 예를 들어 pq cpcq c q cpcpq ≡ pq cpq 등 여러 형태가 도출되며, 논문은 이러한 항등식이 무한히 존재함을 정리 4를 통해 증명한다. 여기서는 “c‑균형”이라는 개념을 도입해, 보완 연산자를 양쪽에 삽입한 문자열이 항상 동일한 효과를 내는지를 논한다. 또한, 이러한 관계를 일차 이론 T₂com(상수 1, p, q, 이항 연산·, 단항 연산 c, 순서 ≤)으로 형식화하고, 모델로서 집합 S 위의 포함 보존 함수들을 제시한다.

무한 모노이드의 구체적 예시는 정수 집합 ℤ에 네 종류의 폐쇄 연산자 쌍(pᵢⱼ, qᵢⱼ)를 정의하고, 이를 확장해 S = ℤ ∪ {⊤, ⊥} 위에 p와 q를 구성함으로써 얻어진다. 이때 p와 q는 각각 특정 구간을 고정하거나 전체 ℤ를 반환하는 등 서로 다른 동작을 하면서도 교환성을 만족한다. 보완 연산 c와 결합한 문자열 wₙ = (cpcpcq cq)ⁿ을 적용하면, A = {0, ⊤}에 대해 wₙ(A) = {2ⁿ, ⊤} 가 되므로 n이 증가할수록 서로 다른 집합이 무한히 생성된다(정리 8).

마지막으로 논문은 모든 가능한 항등식들의 집합 Σ가 결정 가능(decidable)한가?, 그리고 Σ가 유한한 생성 관계만으로 완전히 기술될 수 있는가? 라는 두 개의 열린 질문을 제시한다. 이는 폐쇄 연산자와 보완 연산자의 조합이 형성하는 대수 구조의 복잡성을 보여주며, 기존의 쿠라토프스키 정리와는 다른 무한성 현상을 드러낸다.