진화 트리에서 삽입·삭제를 고려한 전역 서열 정렬 및 조상 상태 복원

**1. 연구 배경 및 동기** 분자 계통학에서는 종 간 유전 서열을 비교해 진화 관계를 추정한다. 전통적인 방법은 치환만을 고려한 모델(CFN) 위에, 별도의 히어리스틱 정렬 절차를 적용해 전역 정렬을 만든 뒤, 정렬된 서열을 이용해 트리를 재구성한다. 그러나 삽입·삭제(indel)는 실제 진화 과정에서 흔히 발생하며, 정렬 단계에서 발생하는 편향은 이후 분석에 심각한 오류를 초래한다. 따라서 indel을 명시적으로 모델링하고, 정렬과 조상 서열 복원을 동시에 다루는 이론적 프레임워크가 필요하다. **2. 문제 정의 (TRPT)** - **트리 구조**: $d$-ary 완전 트리 $T(d)_H$ (깊이 $H$, 잎 수 $n=d^H$). $d$는 홀수로 가정. - **루트 서열**: 길이 $k$인 이진 문자열 $X=(x_1,\dots,x_k)$, 각 비트가 $\{0,1\}$에서 균등하게 선택. - **변이 모델**: 각 간선마다 각 비트에 대해 독립적으로 세 가지 변이를 적용한다. 1. 치환: 비트가 뒤집힐 확률 $p_s$. 2. 삭제: 비트가 사라질 확률 $p_d$. 3. 삽입: 현재 비트 오른쪽에 새로운 비트를 삽입할 확률 $p_i$, 삽입 비트는 균등하게 0/1. - **관측**: 잎 노드 $v$에서 관측되는 서열 $Y_v$는 위 과정을 거쳐 생성된 결과. 목표는 $Y_1,\dots,Y_n$과 트리 구조만을 이용해 원본 $X$를 복원하고, 동시에 잎 서열들의 전역 정렬을 제공하는 것이다. **3. 주요 정리 및 조건** - 치환 파라미터 $\theta_s = 1-2p_s$가 Kesten‑Stigum 경계보다 크게, 즉 $(1-2p_s)^2 > \Phi \log d / d$ (상수 $\Phi$) 를 만족한다면 정보가 충분히 보존된다. - 삽입·삭제 총합 $p_{id}=p_i+p_d$는 $p_{id} < \Phi' k^{-2/3}\log^{-1} n$ (상수 $\Phi'$) 이하이어야 한다. 이는 서열 길이 $k$가 충분히 크고, $n$이 다항식 규모일 때 성립한다. - 이러한 조건 하에, 다항 시간 알고리즘 $A$는 복원된 서열 $\hat X$를 출력하고, 각 위치 $j$에 대해 $\Pr