표면 경계에서 무작위 지도들의 위켄 성질

초록

본 논문은 경계가 있는 표면(또는 자유군 꼬임)의 자기지도 중 Nielsen 수와 최소 고정점 수가 일치하는 위켄 지도들의 비율을 비대칭 밀도(asymptotic density) 개념으로 측정한다. 자유군의 차수 n에 대해 위켄 동형사상의 하한 밀도를 구하고, n이 무한대로 갈 때 그 한계가 0이 아님을 보인다. 특히 n≥2에 대해 위켄 지도들의 밀도가 양수이며, n이 커질수록 그 하한값이 점점 증가함을 실험과 이론으로 제시한다.

상세 분석

이 논문은 2차원 매니폴드, 특히 경계가 있는 표면에서 Nielsen 고정점 이론과 위켄 성질을 연결시키는 새로운 확률론적 관점을 제시한다. 표면의 기본군이 자유군 (G=F_n) 로 표현될 수 있음을 이용해, 자기지도의 동형사상 (\phi:G\to G) 를 자유군의 엔드모르피즘으로 동등시킨다. 위켄 성질은 (\phi) 가 Nielsen 수 (N(\phi)) 와 최소 고정점 수 (MF(\phi)) 가 일치하는 경우이며, 이는 Wagner의 알고리즘을 통해 판별 가능하다. Wagner 알고리즘은 각 생성자에 대한 이미지 단어를 분석해 “Wagner tail”이라 불리는 부분단어들을 정의하고, 이 tail 들이 서로 겹치지 않을 때 모든 고정점이 서로 다른 Nielsen 클래스에 속함을 보인다. 따라서 tail 들이 모두 서로 다르면 (\phi) 가 위켄임을 보장한다(정리 2의 보조정리).

논문은 먼저 자유군 (F_n) 의 모든 엔드모르피즘을 길이 (p) 이하의 단어들의 집합 (G_p) 로 제한하고, 이들 중 Wagner tail 이 서로 다른 집합 (V_n) 의 비율을 비대칭 밀도 (D(V_n)) 로 정의한다. (V_n\subseteq W_n) (위켄 엔드모르피즘 집합)이며, (R_n) (remnant 성질을 가진 엔드모르피즘) 은 일반적으로 전체의 밀도 1을 차지한다는 Brown의 결과를 이용해 (D(V_n)=D(V_n\cap R_n)\le D(W_n)) 를 얻는다. 따라서 (D(V_n)) 의 하한을 구하면 바로 (D(W_n)) 의 하한이 된다.

구체적인 하한 계산은 두 단계로 이루어진다. 첫째, (n=2) (pants surface) 에 대해 Wagner가 제시한 세 종류의 위켄 클래스 (T_2, T_4, T_5) 중 (T_2) 를 세부적으로 분석한다. (T_2) 를 다시 (T_{2a})와 (T_{2b}) 로 나누어 각각의 구성 규칙을 세어 보면, 길이 (p) 가 무한히 커질 때 \