선형 위상 ℤ는 매키 위상이 아니다

초록

ℤ에 비이산 하우스도르프 선형 위상이 주어지면, 같은 문자군을 갖는 더 미세한 계량가능·국소준볼록 위상 τ를 만들 수 있다. 따라서 원래 위상은 매키 위상이 될 수 없으며, 특히 p‑adic 위상도 매키 위상이 아님을 보인다.

상세 분석

논문은 먼저 ℤ의 선형 위상이란 0의 이웃기저가 열린 부분군들로 이루어진 위상임을 상기하고, 이러한 위상은 자연스럽게 증가하는 정수열 b₀=1, b₁, b₂,… (bₙ | bₙ₊₁, bₙ≠bₙ₊₁) 로 기술된다. 저자들은 이를 D‑시퀀스라 명명하고, D‑시퀀스 b에 대응하는 선형 위상 λ_b를 정의한다. λ_b는 전압축(precompact)이며, 그 문자군은 ξ_{b,n}(k)=k·bₙ+ℤ (n∈ℕ) 로 생성되는 순환군 H_b=⟨ξ_{b,n}⟩이다. 중요한 관찰은 H_b의 모든 등연속(equicontinuous) 부분집합이 유한하다는 점이다.

다음 단계에서는 λ_b보다 미세하면서도 같은 문자군을 갖는 위상 τ_b를 구성한다. 이를 위해 b가 무한히 커지는 D‑시퀀스(b∈D_∞)라 가정하고, S_b={1/bₙ+ℤ | n∈ℕ}⊂T(=ℝ/ℤ) 를 고려한다. S_b는 Prüfer 군 ℤ(p^∞) 안의 quasi‑convex null‑sequence이며, 저자들은 S_b에 대한 균일 수렴 위상 τ_b를 정의한다(정의 3.1). τ_b는 “균일 수렴 위상”이라 불리며, 기본 이웃기저는 U_n={x∈ℤ | χ(x)∈